Conteúdo teórico de Estatística e Probabilidade

População, amostra e unidade estatística

População é o conjunto completo de elementos sobre os quais se deseja obter informação. Uma amostra é uma parte dessa população, selecionada para tornar a investigação possível em tempo e custo razoáveis.

Cada elemento observado é uma unidade estatística. Uma medida calculada com toda a população é um parâmetro; quando é calculada com uma amostra, recebe o nome de estatística amostral.

Variáveis e níveis de mensuração

Variável é uma característica observada nas unidades. Variáveis qualitativas descrevem categorias; variáveis quantitativas registram números com significado de contagem ou medida.

Uma variável quantitativa é discreta quando assume valores isolados, geralmente obtidos por contagem, e contínua quando pode assumir qualquer valor em um intervalo. Nas qualitativas, a escala nominal não possui ordem e a ordinal possui uma hierarquia natural.

• Qualitativa nominal: tipo sanguíneo, cor ou cidade.
• Qualitativa ordinal: nível de satisfação ou faixa de desempenho.
• Quantitativa discreta: número de irmãos ou quantidade de acertos.
• Quantitativa contínua: altura, massa, tempo ou temperatura.

Planejamento e seleção da amostra

Uma amostra representativa preserva, tanto quanto possível, características relevantes da população. A seleção aleatória reduz a influência de preferências do pesquisador, mas não corrige perguntas ambíguas nem perdas sistemáticas de respostas.

Amostragem aleatória simples atribui a cada unidade a mesma chance de ser escolhida. Amostragem estratificada separa a população em grupos homogêneos e seleciona elementos em cada grupo. Amostragem sistemática usa um intervalo fixo após um início aleatório.

• Defina a pergunta e a população-alvo.
• Escolha variáveis mensuráveis.
• Planeje um procedimento de seleção sem favorecimentos.
• Registre limitações, recusas e dados ausentes.

Frequência absoluta, relativa e acumulada

Frequência absoluta $f_{i}$ é o número de ocorrências de um valor ou categoria. A frequência relativa compara essa contagem com o total n e pode ser expressa como fração, decimal ou porcentagem.

A frequência acumulada soma as ocorrências até certo valor. Ela é especialmente útil para variáveis quantitativas ou qualitativas ordinais, nas quais existe uma ordem significativa.

Distribuições em classes

Quando uma variável contínua possui muitos valores diferentes, os dados podem ser agrupados em intervalos de classe. Os intervalos devem cobrir toda a amplitude sem sobreposição.

A amplitude de classe é a largura do intervalo. O ponto médio representa a classe em cálculos aproximados, mas o agrupamento reduz parte da informação original.

Escolha do gráfico

Gráficos de barras comparam categorias e deixam espaços entre as barras. Histogramas representam intervalos numéricos contíguos; por isso, suas barras ficam unidas. Gráficos de linhas são apropriados para evolução temporal.

Gráficos de setores mostram composição de um total, mas perdem eficiência quando existem muitas categorias ou diferenças pequenas. Todo gráfico deve apresentar título, escala, unidades e fonte dos dados.

• Barras: comparação entre categorias.
• Histograma: forma de uma distribuição contínua.
• Linhas: mudança ao longo do tempo.
• Setores: partes de um total com poucas categorias.
• Boxplot: centro, dispersão e valores atípicos.

Média aritmética e média ponderada

A média aritmética distribui igualmente a soma dos valores entre as observações. Ela utiliza todas as informações numéricas, mas pode ser fortemente afetada por valores muito distantes dos demais.

Na média ponderada, cada valor recebe um peso que representa importância ou frequência. O denominador deve ser a soma dos pesos, e não apenas o número de valores distintos.

Mediana e quartis

A mediana separa o conjunto ordenado em duas metades. Com número ímpar de observações, ocupa a posição central; com número par, é a média dos dois valores centrais.

Por depender da ordem e não da distância entre valores, a mediana é resistente a observações extremas. Quartis estendem a mesma ideia e dividem os dados em quatro partes aproximadamente iguais.

Moda e escolha da medida

Moda é o valor ou categoria de maior frequência. Um conjunto pode ser amodal, unimodal ou multimodal. É a única medida de tendência central aplicável diretamente a variáveis qualitativas nominais.

A média é indicada para distribuições aproximadamente simétricas sem extremos influentes. A mediana costuma representar melhor salários, preços e tempos muito assimétricos. A moda destaca o resultado mais comum.

• Use média para equilíbrio numérico.
• Use mediana para uma posição central resistente.
• Use moda para identificar a categoria mais frequente.
• Sempre observe a distribuição antes de resumir.

Amplitude, variância e desvio padrão

A amplitude total é a diferença entre maior e menor valor, mas ignora tudo o que ocorre entre os extremos. A variância usa os quadrados dos desvios em relação à média e considera todas as observações.

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e retorna à unidade original dos dados. Em uma amostra usada para estimar a variância populacional, divide-se por n-1.

Quartis e intervalo interquartil

O primeiro quartil $Q_{1}$ deixa aproximadamente 25% dos dados abaixo dele; $Q_{2}$ é a mediana; $Q_{3}$ deixa aproximadamente 75% abaixo. Diferentes convenções de posição podem produzir pequenas diferenças em amostras curtas.

O intervalo interquartil mede a largura da metade central dos dados. Como ignora os extremos, é uma medida resistente de dispersão.

Coeficiente de variação e escore z

O coeficiente de variação compara a dispersão relativa de conjuntos com médias positivas e escalas diferentes. O escore z informa quantos desvios padrão uma observação está acima ou abaixo da média.

Um z positivo indica valor acima da média; um z negativo indica valor abaixo. Padronizar não altera a ordem das observações, apenas expressa sua posição em uma escala comum.

Experimento aleatório, espaço amostral e evento

Um experimento aleatório pode ser repetido em condições semelhantes, mas seu resultado individual não é conhecido antecipadamente. O espaço amostral Ω reúne todos os resultados possíveis.

Evento é qualquer subconjunto de Ω. O evento impossível é vazio; o evento certo é o próprio espaço. União representa pelo menos um evento e interseção representa ocorrência simultânea.

Axiomas e propriedades

Uma função probabilidade atribui números entre 0 e 1 aos eventos. O evento certo tem probabilidade 1 e eventos disjuntos têm probabilidades aditivas.

Quando os resultados elementares são equiprováveis e finitos, a probabilidade de um evento é a razão entre casos favoráveis e casos possíveis. Essa razão não deve ser usada se os resultados não tiverem a mesma chance.

Princípios de contagem

O princípio multiplicativo afirma que um processo com etapas sucessivas pode ser contado multiplicando o número de escolhas disponíveis em cada etapa, desde que as condições estejam claramente definidas.

Combinações contam seleções sem considerar ordem; arranjos e permutações consideram a ordem. Reconhecer essa diferença evita contar o mesmo grupo várias vezes.

Probabilidade condicional

$P(A|B)$ mede a chance de A quando já sabemos que B ocorreu. O evento B passa a funcionar como novo universo de comparação, por isso sua probabilidade aparece no denominador.

A regra do produto reorganiza a definição e permite calcular a probabilidade de sequências. Sem reposição, as probabilidades costumam mudar de uma etapa para outra.

Independência

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Isso equivale a $P(A|B)=P(A)$, desde que $P(B)>0$.

Independência não é o mesmo que eventos disjuntos. Se dois eventos não vazios são disjuntos, saber que um ocorreu torna impossível a ocorrência do outro; portanto, são dependentes.

Probabilidade total e Teorema de Bayes

Uma partição divide Ω em eventos $B_{1}$,...,Bₖ disjuntos, com união igual ao espaço amostral. A probabilidade total soma os caminhos que podem produzir A.

O Teorema de Bayes inverte a condição: combina a probabilidade anterior de cada causa com a chance de observar a evidência sob essa causa.

Variáveis discretas e contínuas

Uma variável aleatória discreta possui valores finitos ou enumeráveis, como o número de acertos. Uma variável contínua pode assumir qualquer valor em intervalos, como tempo ou massa.

No caso discreto, probabilidades podem ser atribuídas a valores isolados. No caso contínuo, a probabilidade de um valor exato é zero; probabilidades correspondem a áreas sob uma densidade.

Função de distribuição acumulada

A função $F(x)=P(X\le x)$ reúne toda a distribuição em uma única função. Ela nunca decresce, tende a 0 à esquerda e a 1 à direita.

Para variáveis discretas, F apresenta saltos iguais às probabilidades dos valores. Para variáveis contínuas com densidade, F é obtida por integração.

Esperança, variância e interpretação

A esperança matemática é uma média ponderada de longo prazo. Ela não precisa ser um resultado possível do experimento; representa o equilíbrio esperado após muitas repetições.

A variância mede a dispersão em torno da esperança. Propriedades algébricas permitem calcular o efeito de somas e transformações lineares sem reconstruir toda a distribuição.

Distribuição binomial e Poisson

A binomial conta sucessos em n tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade p. A variável X pode assumir os valores 0,1,...,n.

A distribuição de Poisson modela contagens em um intervalo quando os eventos ocorrem independentemente a uma taxa média λ. Ela também aproxima uma binomial com n grande e p pequeno quando λ=np.

Distribuição normal e padronização

A distribuição normal é contínua, simétrica e determinada pela média μ e pelo desvio padrão σ. Sua curva possui área total 1 e média, mediana e moda coincidem.

A transformação z converte qualquer normal em uma normal padrão com média 0 e desvio 1. Tabelas ou calculadoras fornecem áreas acumuladas sob essa curva.

• Cerca de 68% dos valores ficam a até 1σ da média.
• Cerca de 95% ficam a até 2σ.
• Cerca de 99,7% ficam a até 3σ.

Uniforme e exponencial

Na distribuição uniforme contínua, intervalos de mesmo comprimento dentro de [a,b] têm a mesma probabilidade. Sua densidade é constante nesse intervalo.

A distribuição exponencial modela tempos de espera entre eventos de um processo de Poisson. Ela possui a propriedade de falta de memória: o tempo já esperado não altera a distribuição do tempo adicional.

Distribuições amostrais e Teorema Central do Limite

Uma estatística varia de amostra para amostra. A distribuição amostral descreve essa variação e permite calcular erros padrão.

Sob condições adequadas, a média amostral possui distribuição aproximadamente normal quando o tamanho da amostra é grande, mesmo que a população original não seja normal. Sua variabilidade diminui com $\sqrt{n}$.

Estimação e intervalos de confiança

Uma estimativa pontual fornece um único valor para o parâmetro. Um intervalo de confiança acrescenta uma margem de erro determinada pelo nível de confiança, pelo erro padrão e pelo modelo adotado.

Para uma média com desvio populacional desconhecido, usa-se a distribuição t de Student e substitui-se σ pelo desvio amostral s. Para proporções, a aproximação normal exige números esperados suficientes de sucessos e fracassos.

Testes de hipóteses e tipos de erro

Um teste começa com uma hipótese nula $H_{0}$ e uma alternativa $H_{1}$. A estatística de teste mede a incompatibilidade entre os dados e $H_{0}$. O valor-p é a probabilidade, supondo $H_{0}$ verdadeira, de observar um resultado tão extremo quanto o obtido ou mais.

Rejeitar $H_{0}$ quando ela é verdadeira produz erro tipo I, controlado pelo nível α. Não rejeitar $H_{0}$ quando ela é falsa produz erro tipo II. Ausência de rejeição não prova que $H_{0}$ é verdadeira.

• Declare $H_{0}$ e $H_{1}$ antes de examinar o resultado.
• Verifique independência e condições do modelo.
• Compare valor-p com α.
• Escreva a conclusão no contexto, sem afirmar certeza absoluta.

Covariância e coeficiente de correlação

A covariância indica se desvios de X e Y tendem a ter o mesmo sinal ou sinais opostos. Como depende das unidades, sua magnitude não é diretamente comparável entre estudos.

A correlação padroniza a covariância e varia de -1 a 1. Valores próximos de ±1 indicam forte associação linear; valores próximos de 0 indicam pouca associação linear, mas ainda pode existir uma relação não linear.

Regressão linear simples e resíduos

A regressão simples modela a média de Y em função de X por uma reta ŷ=$b_{0}$+$b_{1}$x. A inclinação $b_{1}$ representa a mudança prevista em Y para cada unidade adicional de X.

Resíduo é a diferença y-ŷ entre valor observado e valor previsto. O método dos mínimos quadrados escolhe os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.

Determinação, previsão e limites

Em regressão simples com intercepto, $R^{2}=r^{2}$ representa a proporção da variabilidade de Y explicada linearmente por X no conjunto analisado. Um $R^{2}$ alto não garante causalidade nem ausência de vieses.

Previsões dentro da faixa observada são interpolações. Extrapolar para valores distantes pode ser perigoso porque o padrão pode mudar. Resíduos devem ser examinados para identificar curvatura, heterogeneidade e observações influentes.

• Comece pelo diagrama de dispersão.
• Investigue valores atípicos e grupos ocultos.
• Interprete inclinação com unidades.
• Evite extrapolação excessiva.
• Correlação não implica causalidade.