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Exercícios resolvidos de Estatística e Probabilidade

Aprenda a coletar, representar e interpretar dados, calcular probabilidades e construir conclusões estatísticas responsáveis. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Comparar média e mediana e identificar o efeito de um valor extremo.

Antes de começar: Ordenação de dados e divisão.

Uma situação para resolver

Cinco tempos de espera, em minutos, foram 4, 6, 6, 8 e 26. Quais são a média e a mediana? Por que elas são diferentes?

  1. Some os tempos: 4+6+6+8+26=504+6+6+8+26=50. Dividindo por cinco, a média é 10 minutos.
  2. Os valores já estão ordenados. O terceiro valor ocupa a posição central, logo a mediana é 6 minutos.
  3. A espera de 26 minutos eleva a média. A mediana depende da posição, não da magnitude desse maior valor.

Conclusão: Média de 10 minutos e mediana de 6 minutos.

Dados e amostragem

Questão 1

Fácil

O número de livros lidos por um estudante em um mês é uma variável:

  1. Qualitativa nominal
  2. Qualitativa ordinal
  3. Quantitativa discreta
  4. Quantitativa contínua
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Resposta: Quantitativa discreta

A variável é numérica e resulta de uma contagem, assumindo valores inteiros não negativos.

Questão 2

Médio

Uma escola possui 420 estudantes no período matutino e 280 no vespertino. Em uma amostra estratificada proporcional de 100 estudantes, quantos devem ser do matutino?

  1. 40
  2. 50
  3. 60
  4. 70
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Resposta: 60

O matutino representa 420700=0,60\frac{420}{700}=0{,}60 da população. Portanto, 0,60⋅100=600{,}60\cdot 100=60 estudantes.

Questão 3

Difícil

Um site pergunta apenas aos visitantes que desejam responder se aprovam uma nova regra. Qual é a principal limitação desse plano?

  1. Amostragem estratificada
  2. Viés de resposta voluntária
  3. Erro de arredondamento
  4. Variável contínua
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Resposta: Viés de resposta voluntária

Pessoas com opiniões mais fortes tendem a responder, e o grupo de voluntários pode não representar todos os visitantes.

Tabelas e gráficos

Questão 1

Fácil

Em uma pesquisa com 60 pessoas, uma categoria recebeu 18 respostas. Qual é sua frequência relativa?

  1. 18%
  2. 25%
  3. 30%
  4. 42%
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Resposta: 30%

A frequência relativa é 1860=0,30=30%\frac{18}{60}=0{,}30=30\%.

Questão 2

Médio

As frequências das três primeiras classes de uma tabela são 5, 11 e 14. Qual é a frequência acumulada até a terceira classe?

  1. 14
  2. 25
  3. 30
  4. 35
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Resposta: 30

Somamos as frequências das classes até a terceira: 5+11+14=305+11+14=30.

Questão 3

Difícil

Qual representação é mais adequada para observar a forma da distribuição de alturas de 500 pessoas agrupadas em intervalos?

  1. Gráfico de setores
  2. Histograma
  3. Pictograma
  4. Diagrama de Venn
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Resposta: Histograma

Altura é quantitativa contínua, e o histograma mostra a distribuição por intervalos adjacentes.

Medidas de tendência central

Questão 1

Fácil

Qual é a média dos valores 6, 7, 8 e 9?

  1. 7
  2. 7,5
  3. 8
  4. 8,5
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Resposta: 7,5

A soma é 30 e 304=7,5\frac{30}{4}=7{,}5.

Questão 2

Médio

Qual é a mediana do conjunto ordenado 4, 5, 6, 7 e 30?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 10,4
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Resposta: 6

Com cinco valores ordenados, a mediana é o terceiro, isto é, 6.

Questão 3

Difícil

Uma nota 6 tem peso 2, uma nota 7,5 tem peso 3 e uma nota 9 tem peso 5. Qual é a média ponderada?

  1. 7,50
  2. 7,75
  3. 7,95
  4. 8,25
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Resposta: 7,95

6⋅2+7,5⋅3+9⋅52+3+5=79,510=7,95\frac{6\cdot 2+7{,}5\cdot 3+9\cdot 5}{2+3+5}=79,\frac{5}{10}=7{,}95.

Dispersão, quartis e boxplot

Questão 1

Fácil

Qual é a amplitude total dos valores 3, 6, 8 e 11?

  1. 5
  2. 8
  3. 11
  4. 28
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Resposta: 8

A amplitude é máximo menos mínimo: 11−3=811-3=8.

Questão 2

Médio

Tratando 2, 4 e 6 como uma população, qual é sua variância?

  1. 43\frac{4}{3}
  2. 2
  3. 83\frac{8}{3}
  4. 4
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Resposta: 83\frac{8}{3}

A média é 4. A soma dos quadrados dos desvios é 4+0+4=84+0+4=8; dividindo por N=3N=3, obtemos 83\frac{8}{3}.

Questão 3

Difícil

Se Q1=12Q_{1}=12 e Q3=20Q_{3}=20, qual é o limite superior usual para investigar valores atípicos?

  1. 24
  2. 28
  3. 32
  4. 40
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Resposta: 32

AIQ=20−12=8AIQ=20-12=8. O limite superior é Q3+1,5⋅AIQ=20+12=32Q_{3}+1{,}5\cdot AIQ=20+12=32.

Fundamentos de Probabilidade

Questão 1

Fácil

Um dado equilibrado é lançado. Qual é a probabilidade de sair um número par?

  1. 16\frac{1}{6}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 23\frac{2}{3}
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Resposta: 12\frac{1}{2}

Há três resultados pares, 2, 4 e 6, entre seis resultados equiprováveis: 36=12\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Questão 2

Médio

Duas moedas equilibradas são lançadas. Qual é a probabilidade de aparecer pelo menos uma cara?

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 34\frac{3}{4}
  4. 1
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Resposta: 34\frac{3}{4}

O complementar é nenhuma cara, isto é, duas coroas, com probabilidade 14\frac{1}{4}. Logo, 1−14=341-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Questão 3

Difícil

Quantas comissões diferentes de duas pessoas podem ser formadas a partir de sete pessoas?

  1. 14
  2. 21
  3. 35
  4. 42
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Resposta: 21

A ordem não importa, então usamos C(7,2)=7C(7{,}2)=7!/(2!5!)=21(2!5!)=21.

Probabilidade condicional e Bayes

Questão 1

Fácil

Uma urna tem 4 bolas azuis e 2 vermelhas. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual é a probabilidade de ambas serem azuis?

  1. 13\frac{1}{3}
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 23\frac{2}{3}
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Resposta: 25\frac{2}{5}

P(A1∩A2)=(46)(35)=1230=25P(A_{1}\cap A_{2})=(\frac{4}{6})(\frac{3}{5})=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}.

Questão 2

Médio

Eventos A e B são independentes, com P(A)=0,3P(A)=0{,}3 e P(B)=0,4P(B)=0{,}4. Quanto vale P(A∩B)P(A\cap B)?

  1. 0,07
  2. 0,12
  3. 0,30
  4. 0,70
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Resposta: 0,12

Para eventos independentes, P(A∩B)=P(A)P(B)=0,3⋅0,4=0,12P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12.

Questão 3

Difícil

A fábrica A produz 70% das peças e tem 1% de defeitos; B produz 30% e tem 4% de defeitos. Se uma peça é defeituosa, qual é aproximadamente a probabilidade de ter vindo de B?

  1. 36,8%
  2. 50,0%
  3. 63,2%
  4. 80,0%
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Resposta: 63,2%

P(D)=0,70⋅0,01+0,30⋅0,04=0,019P(D)=0{,}70\cdot 0{,}01+0{,}30\cdot 0{,}04=0{,}019. Assim, P(B∣D)=0,0120,019≈0,632P(B|D)=0,\frac{012}{0},019\approx 0{,}632.

Variáveis aleatórias

Questão 1

Fácil

Uma variável discreta assume 0, 1 e 2 com probabilidades 0,15, 0,35 e p. Quanto vale p?

  1. 0,25
  2. 0,35
  3. 0,50
  4. 0,65
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Resposta: 0,50

As probabilidades devem somar 1: p=1−0,15−0,35=0,50p=1-0{,}15-0{,}35=0{,}50.

Questão 2

Médio

X assume 0, 1 e 2 com probabilidades 0,2, 0,5 e 0,3. Qual é E(X)E(X)?

  1. 0,8
  2. 1,0
  3. 1,1
  4. 1,5
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Resposta: 1,1

E(X)=0⋅0,2+1⋅0,5+2⋅0,3=0+0,5+0,6=1,1E(X)=0\cdot 0{,}2+1\cdot 0{,}5+2\cdot 0{,}3=0+0{,}5+0{,}6=1{,}1.

Questão 3

Difícil

Se E(X)=1,1E(X)=1{,}1 e E(X2)=2,3E(X^{2})=2{,}3, qual é Var(X)Var(X)?

  1. 0,99
  2. 1,09
  3. 1,20
  4. 3,41
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Resposta: 1,09

Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=2,3−1,21=1,09Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=2{,}3-1{,}21=1{,}09.

Distribuições de probabilidade

Questão 1

Fácil

Se X~Bin(10;0,2)Bin(10;0{,}2), qual é o valor esperado de X?

  1. 0,2
  2. 2
  3. 5
  4. 8
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Resposta: 2

Na binomial, E(X)=np=10⋅0,2=2E(X)=np=10\cdot 0{,}2=2.

Questão 2

Médio

Uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Qual é a probabilidade de exatamente duas caras?

  1. 18\frac{1}{8}
  2. 14\frac{1}{4}
  3. 38\frac{3}{8}
  4. 12\frac{1}{2}
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Resposta: 38\frac{3}{8}

P(X=2)=C(3,2)(12)2(12)=38P(X=2)=C(3{,}2)(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})=\frac{3}{8}.

Questão 3

Difícil

Uma distribuição normal tem média 70 e desvio padrão 10. Qual é o escore z do valor 85?

  1. 0,5
  2. 1
  3. 1,5
  4. 2
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Resposta: 1,5

z=85−7010=1510=1,5z=\frac{85-70}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5.

Inferência estatística

Questão 1

Fácil

Se σ=12 e n=36n=36, qual é o erro padrão da média?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 6
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Resposta: 2

SE(xˉ)=σ/n=126=2(\bar{x})=σ/\sqrt{n}=\frac{12}{6}=2.

Questão 2

Médio

Uma amostra tem média 100 e erro padrão 2. Usando z*=1,96, qual é o intervalo de 95%?

  1. (96,08;103,92)
  2. (98;102)
  3. (95;105)
  4. (92,16;107,84)
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Resposta: (96,08;103,92)

A margem é 1,96⋅2=3,921{,}96\cdot 2=3{,}92. Assim, 100±3,92 produz (96,08;103,92).

Questão 3

Difícil

Em um teste com α=0,05\alpha =0{,}05, obteve-se valor−p=0,03-p=0{,}03. Qual é a decisão?

  1. Rejeitar H0H_{0}
  2. Aceitar H0H_{0} como verdadeira
  3. Aumentar α para 0,10
  4. O teste é inconclusivo por definição
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Resposta: Rejeitar H0H_{0}

Como valor−p<α-p<\alpha , rejeitamos H0H_{0} ao nível de 5%, sem afirmar certeza absoluta sobre H1H_{1}.

Correlação e regressão

Questão 1

Fácil

Um coeficiente r=−0,75r=-0{,}75 indica:

  1. Forte associação linear negativa
  2. Forte associação linear positiva
  3. Ausência completa de relação
  4. Causalidade negativa
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Resposta: Forte associação linear negativa

O sinal negativo indica direção oposta e o módulo 0,75 sugere associação linear relativamente forte; não implica causalidade.

Questão 2

Médio

Para a reta de regressão ŷ=5+2x, qual é o valor previsto quando x=4x=4?

  1. 8
  2. 9
  3. 13
  4. 28
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Resposta: 13

Substituímos x=4:y^=5+2⋅4=13x=4: ŷ=5+2\cdot 4=13.

Questão 3

Difícil

Um modelo prevê ŷ=13 para uma observação cujo valor real é y=15y=15. Qual é o resíduo y−ŷ?

  1. −2
  2. 0
  3. 2
  4. 28
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Resposta: 2

O resíduo é observado menos previsto: e=15−13=2e=15-13=2.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Estatística e Probabilidade. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.