Conteúdo teórico

Ponto, reta e plano

Ponto, reta e plano são noções primitivas: não são definidas por conceitos mais simples. Um ponto indica posição e não possui dimensão; uma reta é entendida como um conjunto ilimitado de pontos alinhados; um plano é uma superfície ilimitada que contém retas e pontos.

Por convenção, pontos são indicados por letras maiúsculas, retas por letras minúsculas e planos por letras gregas. Escrevemos $A \in r$ quando o ponto A pertence à reta r e $A \notin r$ quando não pertence.

• Pontos de uma mesma reta são colineares.
• Pontos de um mesmo plano são coplanares.
• Uma figura geométrica é um conjunto de pontos.

Axiomas de incidência e determinação

Axiomas ou postulados são afirmações aceitas sem demonstração. Entre os mais importantes estão: existem infinitos pontos numa reta e fora dela; dois pontos distintos determinam uma única reta; três pontos não colineares determinam um único plano.

Uma reta contida em um plano separa esse plano em dois semiplanos. Essa ideia de separação permite definir interior, exterior, convexidade e diversas relações de posição.

Definição, teorema e demonstração

Uma definição estabelece o significado preciso de um termo. Um teorema é uma proposição cuja validade deve ser demonstrada a partir de axiomas, definições ou resultados já provados. A hipótese reúne as condições dadas; a tese é a conclusão que se deseja obter.

Reta, semirreta e segmento

A reta AB passa por A e B e se prolonga indefinidamente nos dois sentidos. A semirreta AB tem origem em A, passa por B e se prolonga apenas além de B. O segmento AB é formado por A, B e todos os pontos situados entre eles.

Dois segmentos são consecutivos quando possuem uma extremidade comum, colineares quando pertencem à mesma reta e adjacentes quando são consecutivos, colineares e não têm pontos internos em comum.

Medida, congruência e ponto médio

A distância entre A e B é a medida não negativa do segmento AB. Segmentos com a mesma medida são congruentes. Se M pertence a AB e $AM = MB$, então M é o ponto médio de AB.

Ordem dos pontos

Três pontos colineares distintos admitem exatamente um ponto situado entre os outros dois. Antes de somar ou subtrair comprimentos, é essencial identificar a ordem dos pontos, pois posições diferentes podem produzir respostas diferentes.

Definição e regiões

Um ângulo é formado por duas semirretas de mesma origem. A origem é o vértice e as semirretas são os lados. O interior do ângulo é a região convexa compreendida entre os lados; o exterior é o restante do plano.

Uma região é convexa quando o segmento que une quaisquer dois de seus pontos permanece totalmente dentro dela. Caso contrário, a região é côncava.

Medida e classificação

A medida angular costuma ser expressa em graus. Um ângulo nulo mede $0^{\circ}$, um agudo está entre $0^{\circ}$ e $90^{\circ}$, um reto mede $90^{\circ}$, um obtuso está entre $90^{\circ}$ e $180^{\circ}$, um raso mede $180^{\circ}$ e uma volta completa mede $360^{\circ}$.

Congruência, bissetriz e ângulos opostos

Ângulos de mesma medida são congruentes. A bissetriz divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Quando duas retas se cruzam, os ângulos opostos pelo vértice são congruentes, enquanto cada par adjacente forma uma soma de $180^{\circ}$.

Elementos e classificação

Um triângulo possui três vértices, três lados e três ângulos internos. Pelos lados, pode ser equilátero, isósceles ou escaleno. Pelos ângulos, pode ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo plano é $180^{\circ}$. Em um triângulo equilátero, os três ângulos medem $60^{\circ}$; em um isósceles, os ângulos da base são congruentes.

Congruência de triângulos

Triângulos congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho. A congruência pode ser garantida pelos critérios LLL, LAL, ALA e LAA, desde que os elementos comparados sejam correspondentes. Em triângulos retângulos também se usa o critério hipotenusa-cateto.

• LLL: três lados correspondentes congruentes.
• LAL: dois lados e o ângulo compreendido.
• ALA: um lado e os dois ângulos adjacentes.

Desigualdades triangulares

Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma e maior que a diferença positiva dos outros dois. Além disso, o maior lado fica oposto ao maior ângulo, e lados congruentes ficam opostos a ângulos congruentes.

Retas paralelas e transversal

Duas retas coplanares são paralelas quando não possuem ponto em comum ou quando coincidem. Uma terceira reta que intercepta ambas é chamada transversal.

Quando duas paralelas são cortadas por uma transversal, ângulos correspondentes e alternos são congruentes; ângulos colaterais do mesmo lado são suplementares.

Critérios de paralelismo

Também é possível concluir que duas retas são paralelas: basta mostrar que um par de ângulos correspondentes ou alternos é congruente, ou que um par de colaterais soma $180^{\circ}$.

Consequências nos triângulos

Traçando por um vértice de um triângulo uma paralela ao lado oposto, as relações entre alternos internos demonstram que a soma dos ângulos internos é $180^{\circ}$. O ângulo externo de um triângulo equivale à soma dos dois internos não adjacentes.

Retas perpendiculares

Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam quatro ângulos retos. Por um ponto pertencente ou exterior a uma reta passa uma única perpendicular a essa reta.

Projeção ortogonal e distância

A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto H em que a perpendicular por P encontra r. O segmento PH é a distância de P a r e é menor que qualquer segmento oblíquo ligando P a outro ponto da reta.

A distância entre duas retas paralelas é o comprimento de qualquer segmento perpendicular com uma extremidade em cada reta.

Mediatriz

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento em seu ponto médio. Todo ponto da mediatriz é equidistante das extremidades; reciprocamente, todo ponto equidistante das extremidades pertence à mediatriz.

Definições e classificação

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é $360^{\circ}$. Trapézios possuem ao menos um par de lados paralelos; paralelogramos possuem dois pares; retângulos têm quatro ângulos retos; losangos têm quatro lados congruentes; quadrados reúnem as propriedades de retângulos e losangos.

Trapézios e bases médias

No trapézio, os lados paralelos são as bases. O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e mede a semissoma de seus comprimentos. No trapézio isósceles, os lados não paralelos e os ângulos de cada base são congruentes.

Paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados

Em todo paralelogramo, lados e ângulos opostos são congruentes, ângulos consecutivos são suplementares e as diagonais se cortam ao meio. No retângulo, as diagonais também são congruentes. No losango, são perpendiculares e bissetam os ângulos. No quadrado, todas essas propriedades valem simultaneamente.

Baricentro e medianas

Mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. As três medianas concorrem no baricentro, que divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice. O baricentro pode ser interpretado como centro de equilíbrio do triângulo.

Incentro e circuncentro

As bissetrizes internas concorrem no incentro, ponto equidistante dos lados e centro da circunferência inscrita. As mediatrizes dos lados concorrem no circuncentro, ponto equidistante dos vértices e centro da circunferência circunscrita.

Ortocentro e posições relativas

As três alturas concorrem no ortocentro. Em triângulos acutângulos, circuncentro e ortocentro são internos; em retângulos, ficam respectivamente no ponto médio da hipotenusa e no vértice reto; em obtusângulos, ambos podem ficar no exterior.

Elementos e classificação

Um polígono possui lados, vértices, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. É convexo quando todas as diagonais ficam em seu interior. É regular quando todos os lados e todos os ângulos são congruentes.

Diagonais

De cada vértice partem n - 3 diagonais, pois não se liga o vértice a si mesmo nem aos dois vizinhos. Como cada diagonal seria contada por suas duas extremidades, divide-se o total por 2.

Ângulos internos e externos

Um polígono convexo de n lados pode ser decomposto em n - 2 triângulos a partir de um vértice. A soma dos ângulos externos, tomando um por vértice no mesmo sentido, é sempre $360^{\circ}$.

Elementos fundamentais

Raio liga o centro a um ponto da circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro e mede duas vezes o raio. Corda liga dois pontos da circunferência; arco é uma parte da circunferência. Setor e segmento circular são regiões determinadas por raios e cordas.

Posições relativas

Uma reta pode ser exterior, tangente ou secante conforme tenha zero, um ou dois pontos comuns com a circunferência. A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Duas circunferências podem ser exteriores, tangentes exteriormente, secantes, tangentes interiormente, interiores ou concêntricas. A classificação depende da distância d entre os centros comparada a R + r e $\left|R - r\right|$.

Tangentes e quadriláteros circunscritos

Segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto exterior até uma circunferência são congruentes. Em um quadrilátero circunscrito a uma circunferência, a soma das medidas de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

Arcos e ângulo central

Arcos de mesma medida são congruentes. Em uma mesma circunferência, arcos congruentes correspondem a cordas congruentes. O ângulo central tem vértice no centro e sua medida é igual à medida do arco que intercepta.

Ângulo inscrito

O ângulo inscrito tem vértice na circunferência e lados secantes. Sua medida é a metade do arco interceptado. Ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são congruentes; se interceptam um diâmetro, medem $90^{\circ}$.

Ângulo semi-inscrito e outros casos

O ângulo semi-inscrito tem vértice na circunferência, um lado tangente e outro secante; também mede a metade do arco interceptado. Para duas cordas que se cruzam internamente, usa-se a semissoma dos arcos opostos; para secantes exteriores, a semidiferença dos arcos.

Feixe de paralelas

Quando várias retas paralelas interceptam duas transversais, os segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais. É necessário manter a mesma ordem de correspondência ao montar as razões.

Forma triangular

Em um triângulo ABC, se D pertence a AB, E pertence a AC e DE é paralelo a BC, então $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} =$ D$\frac{E}{B}$C. A paralela cria um triângulo menor semelhante ao original.

Teorema das bissetrizes

A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. A bissetriz externa produz uma divisão externa na mesma razão.

Semelhança e razão

Triângulos semelhantes possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. A razão de semelhança k compara comprimentos; perímetros variam por k e áreas por $k^{2}$.

Critérios de semelhança

Os critérios AA, LAL proporcional e LLL proporcional permitem provar semelhança sem verificar todos os elementos. A ordem dos vértices na escrita da semelhança indica as correspondências.

Potência de ponto

A potência de um ponto P em relação a uma circunferência é constante para todas as secantes por P. Para ponto exterior, o produto da parte externa pela secante inteira equivale ao quadrado do segmento tangente.

Projeções e relações métricas

Considere hipotenusa a, catetos b e c, altura h relativa à hipotenusa e projeções m e n dos catetos sobre a. Os dois triângulos menores formados pela altura são semelhantes ao triângulo original e entre si.

Teorema de Pitágoras

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A recíproca também vale: se o maior lado de um triângulo satisfaz essa igualdade, o triângulo é retângulo.

Aplicações

Pitágoras aparece em diagonais de retângulos e quadrados, distâncias no plano cartesiano, alturas de triângulos isósceles e problemas de acesso indireto. Antes de aplicar a fórmula, identifique corretamente o ângulo reto e a hipotenusa.

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras. Ela calcula um lado a partir de dois lados e do ângulo compreendido, ou um ângulo a partir dos três lados.

Lei dos senos

A lei dos senos relaciona cada lado ao seno do ângulo oposto e ao diâmetro da circunferência circunscrita. É especialmente útil quando se conhece um par lado-ângulo e mais um lado ou ângulo.

Medianas, bissetrizes e cevianas

O Teorema de Stewart calcula o comprimento de uma ceviana a partir dos lados e dos segmentos em que ela divide o lado oposto. Casos particulares fornecem fórmulas de medianas e bissetrizes.

Centro, raio e apótema

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência e circunscrito a outra com o mesmo centro. O raio liga o centro a um vértice; o apótema é a distância do centro a um lado e o encontra perpendicularmente em seu ponto médio.

Ângulos e decomposição

Ligando o centro aos vértices, o polígono é dividido em n triângulos isósceles congruentes. O ângulo central mede $\frac{360^{\circ}}{n}$ e coincide numericamente com o ângulo externo.

Relações métricas

Se R é o raio da circunferência circunscrita, l é o lado e ap é o apótema, relações trigonométricas no triângulo central calculam essas medidas. A área total é a soma das áreas dos n triângulos centrais.

Comprimento e número π

Em toda circunferência, a razão $\frac{C}{d}$ é constante e igual a $\pi$. Como $d = 2r$, o comprimento pode ser escrito em função do raio. $\pi$ é irracional; em aproximações escolares usam-se frequentemente 3,14 ou valores fornecidos pelo problema.

Comprimento de arco

O comprimento de um arco é proporcional ao ângulo central correspondente. Se o ângulo está em radianos, a relação torna-se particularmente simples.

Aplicações em movimento

Uma volta completa de uma roda percorre um comprimento igual ao de sua circunferência, se não houver deslizamento. Assim, distância, raio e número de voltas podem ser relacionados diretamente.

Figuras equivalentes

Duas superfícies planas são equivalentes quando possuem a mesma área. Congruência implica equivalência, mas equivalência não implica congruência: uma figura pode ser recortada e rearranjada sem alterar a área total.

Transformações que preservam área

Paralelogramos de mesma base e mesma altura são equivalentes. Triângulos de mesma base e mesma altura também são equivalentes. Um paralelogramo pode ser convertido em retângulo por recorte e translação de uma região triangular.

Redução de polígonos

Um polígono pode ser decomposto em triângulos. Por construções com paralelas, esses triângulos podem ser substituídos por outros equivalentes e reunidos, reduzindo progressivamente o número de lados até obter uma figura de área conhecida.

Princípios de área

A área é não negativa, figuras congruentes têm áreas iguais e a área de uma união sem sobreposição interna é a soma das áreas das partes. A unidade de área é um quadrado de lado unitário, como 1 $cm^{2}$.

Áreas de polígonos

As fórmulas de polígonos derivam de decomposições e equivalências. Regiões compostas podem ser calculadas somando partes ou subtraindo recortes.

Expressões da área do triângulo

Além de base e altura, a área pode ser calculada por dois lados e o seno do ângulo compreendido, pela fórmula de Heron, pelo semiperímetro e raio inscrito ou pelos lados e raio circunscrito.

Círculo, setores e razões de áreas

A área do círculo é $\pi$$r^{2}$. Um setor circular ocupa a mesma fração da área do círculo que seu ângulo central ocupa de $360^{\circ}$. A área de um segmento circular é a área do setor menos a do triângulo central. Uma coroa circular é a diferença entre dois círculos concêntricos.

Em figuras semelhantes, a razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança. Triângulos com a mesma altura têm áreas proporcionais às bases; triângulos com a mesma base têm áreas proporcionais às alturas.