Conteúdo teórico

Ponto, reta e plano

Ponto, reta e plano são noções primitivas: não são definidas por conceitos mais simples. Um ponto indica posição e não possui dimensão; uma reta é entendida como um conjunto ilimitado de pontos alinhados; um plano é uma superfície ilimitada que contém retas e pontos.

Por convenção, pontos são indicados por letras maiúsculas, retas por letras minúsculas e planos por letras gregas. Escrevemos $A \in r$ quando o ponto A pertence à reta r e $A \notin r$ quando não pertence.

• Pontos de uma mesma reta são colineares.
• Pontos de um mesmo plano são coplanares.
• Uma figura geométrica é um conjunto de pontos.

Axiomas de incidência e determinação

Axiomas ou postulados são afirmações aceitas sem demonstração. Entre os mais importantes estão: existem infinitos pontos numa reta e fora dela; dois pontos distintos determinam uma única reta; três pontos não colineares determinam um único plano.

Uma reta contida em um plano separa esse plano em dois semiplanos. Essa ideia de separação permite definir interior, exterior, convexidade e diversas relações de posição.

Definição, teorema e demonstração

Uma definição estabelece o significado preciso de um termo. Um teorema é uma proposição cuja validade deve ser demonstrada a partir de axiomas, definições ou resultados já provados. A hipótese reúne as condições dadas; a tese é a conclusão que se deseja obter.

Reta, semirreta e segmento

A reta AB passa por A e B e se prolonga indefinidamente nos dois sentidos. A semirreta AB tem origem em A, passa por B e se prolonga apenas além de B. O segmento AB é formado por A, B e todos os pontos situados entre eles.

Dois segmentos são consecutivos quando possuem uma extremidade comum, colineares quando pertencem à mesma reta e adjacentes quando são consecutivos, colineares e não têm pontos internos em comum.

Medida, congruência e ponto médio

A distância entre A e B é a medida não negativa do segmento AB. Segmentos com a mesma medida são congruentes. Se M pertence a AB e $AM = MB$, então M é o ponto médio de AB.

Ordem dos pontos

Três pontos colineares distintos admitem exatamente um ponto situado entre os outros dois. Antes de somar ou subtrair comprimentos, é essencial identificar a ordem dos pontos, pois posições diferentes podem produzir respostas diferentes.

Definição e regiões

Um ângulo é formado por duas semirretas de mesma origem. A origem é o vértice e as semirretas são os lados. O interior do ângulo é a região convexa compreendida entre os lados; o exterior é o restante do plano.

Uma região é convexa quando o segmento que une quaisquer dois de seus pontos permanece totalmente dentro dela. Caso contrário, a região é côncava.

Medida e classificação

A medida angular costuma ser expressa em graus. Um ângulo nulo mede $0^{\circ}$, um agudo está entre $0^{\circ}$ e $90^{\circ}$, um reto mede $90^{\circ}$, um obtuso está entre $90^{\circ}$ e $180^{\circ}$, um raso mede $180^{\circ}$ e uma volta completa mede $360^{\circ}$.

Congruência, bissetriz e ângulos opostos

Ângulos de mesma medida são congruentes. A bissetriz divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Quando duas retas se cruzam, os ângulos opostos pelo vértice são congruentes, enquanto cada par adjacente forma uma soma de $180^{\circ}$.

Elementos e classificação

Um triângulo possui três vértices, três lados e três ângulos internos. Pelos lados, pode ser equilátero, isósceles ou escaleno. Pelos ângulos, pode ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo plano é $180^{\circ}$. Em um triângulo equilátero, os três ângulos medem $60^{\circ}$; em um isósceles, os ângulos da base são congruentes.

Congruência de triângulos

Triângulos congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho. A congruência pode ser garantida pelos critérios LLL, LAL, ALA e LAA, desde que os elementos comparados sejam correspondentes. Em triângulos retângulos também se usa o critério hipotenusa-cateto.

• LLL: três lados correspondentes congruentes.
• LAL: dois lados e o ângulo compreendido.
• ALA: um lado e os dois ângulos adjacentes.

Desigualdades triangulares

Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma e maior que a diferença positiva dos outros dois. Além disso, o maior lado fica oposto ao maior ângulo, e lados congruentes ficam opostos a ângulos congruentes.

Retas paralelas e transversal

Duas retas coplanares são paralelas quando não possuem ponto em comum ou quando coincidem. Uma terceira reta que intercepta ambas é chamada transversal.

Quando duas paralelas são cortadas por uma transversal, ângulos correspondentes e alternos são congruentes; ângulos colaterais do mesmo lado são suplementares.

Critérios de paralelismo

Também é possível concluir que duas retas são paralelas: basta mostrar que um par de ângulos correspondentes ou alternos é congruente, ou que um par de colaterais soma $180^{\circ}$.

Consequências nos triângulos

Traçando por um vértice de um triângulo uma paralela ao lado oposto, as relações entre alternos internos demonstram que a soma dos ângulos internos é $180^{\circ}$. O ângulo externo de um triângulo equivale à soma dos dois internos não adjacentes.

Retas perpendiculares

Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam quatro ângulos retos. Por um ponto pertencente ou exterior a uma reta passa uma única perpendicular a essa reta.

Projeção ortogonal e distância

A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto H em que a perpendicular por P encontra r. O segmento PH é a distância de P a r e é menor que qualquer segmento oblíquo ligando P a outro ponto da reta.

A distância entre duas retas paralelas é o comprimento de qualquer segmento perpendicular com uma extremidade em cada reta.

Mediatriz

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento em seu ponto médio. Todo ponto da mediatriz é equidistante das extremidades; reciprocamente, todo ponto equidistante das extremidades pertence à mediatriz.

Definições e classificação

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é $360^{\circ}$. Trapézios possuem ao menos um par de lados paralelos; paralelogramos possuem dois pares; retângulos têm quatro ângulos retos; losangos têm quatro lados congruentes; quadrados reúnem as propriedades de retângulos e losangos.

Trapézios e bases médias

No trapézio, os lados paralelos são as bases. O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e mede a semissoma de seus comprimentos. No trapézio isósceles, os lados não paralelos e os ângulos de cada base são congruentes.

Paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados

Em todo paralelogramo, lados e ângulos opostos são congruentes, ângulos consecutivos são suplementares e as diagonais se cortam ao meio. No retângulo, as diagonais também são congruentes. No losango, são perpendiculares e bissetam os ângulos. No quadrado, todas essas propriedades valem simultaneamente.

Baricentro e medianas

Mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. As três medianas concorrem no baricentro, que divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice. O baricentro pode ser interpretado como centro de equilíbrio do triângulo.

Incentro e circuncentro

As bissetrizes internas concorrem no incentro, ponto equidistante dos lados e centro da circunferência inscrita. As mediatrizes dos lados concorrem no circuncentro, ponto equidistante dos vértices e centro da circunferência circunscrita.

Ortocentro e posições relativas

As três alturas concorrem no ortocentro. Em triângulos acutângulos, circuncentro e ortocentro são internos; em retângulos, ficam respectivamente no ponto médio da hipotenusa e no vértice reto; em obtusângulos, ambos podem ficar no exterior.

Elementos e classificação

Um polígono possui lados, vértices, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. É convexo quando todas as diagonais ficam em seu interior. É regular quando todos os lados e todos os ângulos são congruentes.

Diagonais

De cada vértice partem n - 3 diagonais, pois não se liga o vértice a si mesmo nem aos dois vizinhos. Como cada diagonal seria contada por suas duas extremidades, divide-se o total por 2.

Ângulos internos e externos

Um polígono convexo de n lados pode ser decomposto em n - 2 triângulos a partir de um vértice. A soma dos ângulos externos, tomando um por vértice no mesmo sentido, é sempre $360^{\circ}$.

Elementos fundamentais

Raio liga o centro a um ponto da circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro e mede duas vezes o raio. Corda liga dois pontos da circunferência; arco é uma parte da circunferência. Setor e segmento circular são regiões determinadas por raios e cordas.

Posições relativas

Uma reta pode ser exterior, tangente ou secante conforme tenha zero, um ou dois pontos comuns com a circunferência. A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Duas circunferências podem ser exteriores, tangentes exteriormente, secantes, tangentes interiormente, interiores ou concêntricas. A classificação depende da distância d entre os centros comparada a R + r e $\left|R - r\right|$.

Tangentes e quadriláteros circunscritos

Segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto exterior até uma circunferência são congruentes. Em um quadrilátero circunscrito a uma circunferência, a soma das medidas de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

Arcos e ângulo central

Arcos de mesma medida são congruentes. Em uma mesma circunferência, arcos congruentes correspondem a cordas congruentes. O ângulo central tem vértice no centro e sua medida é igual à medida do arco que intercepta.

Ângulo inscrito

O ângulo inscrito tem vértice na circunferência e lados secantes. Sua medida é a metade do arco interceptado. Ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são congruentes; se interceptam um diâmetro, medem $90^{\circ}$.

Ângulo semi-inscrito e outros casos

O ângulo semi-inscrito tem vértice na circunferência, um lado tangente e outro secante; também mede a metade do arco interceptado. Para duas cordas que se cruzam internamente, usa-se a semissoma dos arcos opostos; para secantes exteriores, a semidiferença dos arcos.

Feixe de paralelas

Quando várias retas paralelas interceptam duas transversais, os segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais. É necessário manter a mesma ordem de correspondência ao montar as razões.

Forma triangular

Em um triângulo ABC, se D pertence a AB, E pertence a AC e DE é paralelo a BC, então $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} =$ D$\frac{E}{B}$C. A paralela cria um triângulo menor semelhante ao original.

Teorema das bissetrizes

A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. A bissetriz externa produz uma divisão externa na mesma razão.

Semelhança e razão

Triângulos semelhantes possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. A razão de semelhança k compara comprimentos; perímetros variam por k e áreas por $k^{2}$.

Critérios de semelhança

Os critérios AA, LAL proporcional e LLL proporcional permitem provar semelhança sem verificar todos os elementos. A ordem dos vértices na escrita da semelhança indica as correspondências.

Potência de ponto

A potência de um ponto P em relação a uma circunferência é constante para todas as secantes por P. Para ponto exterior, o produto da parte externa pela secante inteira equivale ao quadrado do segmento tangente.

Projeções e relações métricas

Considere hipotenusa a, catetos b e c, altura h relativa à hipotenusa e projeções m e n dos catetos sobre a. Os dois triângulos menores formados pela altura são semelhantes ao triângulo original e entre si.

Teorema de Pitágoras

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A recíproca também vale: se o maior lado de um triângulo satisfaz essa igualdade, o triângulo é retângulo.

Aplicações

Pitágoras aparece em diagonais de retângulos e quadrados, distâncias no plano cartesiano, alturas de triângulos isósceles e problemas de acesso indireto. Antes de aplicar a fórmula, identifique corretamente o ângulo reto e a hipotenusa.

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras. Ela calcula um lado a partir de dois lados e do ângulo compreendido, ou um ângulo a partir dos três lados.

Lei dos senos

A lei dos senos relaciona cada lado ao seno do ângulo oposto e ao diâmetro da circunferência circunscrita. É especialmente útil quando se conhece um par lado-ângulo e mais um lado ou ângulo.

Medianas, bissetrizes e cevianas

O Teorema de Stewart calcula o comprimento de uma ceviana a partir dos lados e dos segmentos em que ela divide o lado oposto. Casos particulares fornecem fórmulas de medianas e bissetrizes.

Centro, raio e apótema

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência e circunscrito a outra com o mesmo centro. O raio liga o centro a um vértice; o apótema é a distância do centro a um lado e o encontra perpendicularmente em seu ponto médio.

Ângulos e decomposição

Ligando o centro aos vértices, o polígono é dividido em n triângulos isósceles congruentes. O ângulo central mede $\frac{360^{\circ}}{n}$ e coincide numericamente com o ângulo externo.

Relações métricas

Se R é o raio da circunferência circunscrita, l é o lado e ap é o apótema, relações trigonométricas no triângulo central calculam essas medidas. A área total é a soma das áreas dos n triângulos centrais.

Comprimento e número π

Em toda circunferência, a razão $\frac{C}{d}$ é constante e igual a $\pi$. Como $d = 2r$, o comprimento pode ser escrito em função do raio. $\pi$ é irracional; em aproximações escolares usam-se frequentemente 3,14 ou valores fornecidos pelo problema.

Comprimento de arco

O comprimento de um arco é proporcional ao ângulo central correspondente. Se o ângulo está em radianos, a relação torna-se particularmente simples.

Aplicações em movimento

Uma volta completa de uma roda percorre um comprimento igual ao de sua circunferência, se não houver deslizamento. Assim, distância, raio e número de voltas podem ser relacionados diretamente.

Figuras equivalentes

Duas superfícies planas são equivalentes quando possuem a mesma área. Congruência implica equivalência, mas equivalência não implica congruência: uma figura pode ser recortada e rearranjada sem alterar a área total.

Transformações que preservam área

Paralelogramos de mesma base e mesma altura são equivalentes. Triângulos de mesma base e mesma altura também são equivalentes. Um paralelogramo pode ser convertido em retângulo por recorte e translação de uma região triangular.

Redução de polígonos

Um polígono pode ser decomposto em triângulos. Por construções com paralelas, esses triângulos podem ser substituídos por outros equivalentes e reunidos, reduzindo progressivamente o número de lados até obter uma figura de área conhecida.

Princípios de área

A área é não negativa, figuras congruentes têm áreas iguais e a área de uma união sem sobreposição interna é a soma das áreas das partes. A unidade de área é um quadrado de lado unitário, como 1 $cm^{2}$.

Áreas de polígonos

As fórmulas de polígonos derivam de decomposições e equivalências. Regiões compostas podem ser calculadas somando partes ou subtraindo recortes.

Expressões da área do triângulo

Além de base e altura, a área pode ser calculada por dois lados e o seno do ângulo compreendido, pela fórmula de Heron, pelo semiperímetro e raio inscrito ou pelos lados e raio circunscrito.

Círculo, setores e razões de áreas

A área do círculo é $\pi$$r^{2}$. Um setor circular ocupa a mesma fração da área do círculo que seu ângulo central ocupa de $360^{\circ}$. A área de um segmento circular é a área do setor menos a do triângulo central. Uma coroa circular é a diferença entre dois círculos concêntricos.

Em figuras semelhantes, a razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança. Triângulos com a mesma altura têm áreas proporcionais às bases; triângulos com a mesma base têm áreas proporcionais às alturas.

Ceva e concorrência

No triângulo ABC, sejam D, E e F pontos dos lados BC, CA e AB. As cevianas AD, BE e CF são concorrentes quando o produto das três razões orientadas é 1.

O resultado reúne casos conhecidos: medianas, bissetrizes internas e alturas são famílias concorrentes porque suas razões satisfazem a condição de Ceva.

Menelaus e colinearidade

Uma reta transversal aos lados ou prolongamentos de um triângulo produz três razões. Com segmentos orientados, os três pontos de interseção são colineares quando o produto é −1.

Em medidas positivas, é comum registrar o módulo do produto como 1 e controlar separadamente quais pontos pertencem aos prolongamentos.

Stewart e comprimento de cevianas

O Teorema de Stewart relaciona uma ceviana ao lado que ela divide e aos outros dois lados do triângulo. Mediana, bissetriz e altura aparecem como casos particulares.

Se a ceviana d divide o lado a em m e n, com $m+n=a$, a relação pode ser lembrada pela igualdade entre uma soma ponderada de quadrados e o produto do lado pela soma $d^{2}$+mn.

Potência de um ponto

Para uma circunferência de centro O e raio R, a potência de P é $PO^{2}$$-R^{2}$. Ela é positiva fora do círculo, zero sobre a circunferência e negativa em seu interior.

Se uma secante por P encontra a circunferência em A e B, o produto orientado PA·PB é constante. Para uma tangente PT, essa potência vale $PT^{2}$.

Eixo e centro radical

O eixo radical de duas circunferências não concêntricas é o lugar dos pontos de igual potência em relação a elas. Trata-se de uma reta perpendicular à linha dos centros.

Os três eixos radicais de três circunferências cujos centros não são colineares concorrem em um ponto chamado centro radical.

Circunferências ortogonais

Duas circunferências secantes são ortogonais quando suas tangentes em cada interseção são perpendiculares. Como os raios são perpendiculares às tangentes, o triângulo formado pelos centros e pelo ponto comum é retângulo.

Homotetia e fator de escala

Uma homotetia de centro O e razão k envia P a P′ na reta OP, satisfazendo OP′=$\left|k\right|$·OP. Se $k>0, P$ e P′ ficam na mesma semirreta; se $k<0$, ficam em semirretas opostas.

A transformação preserva ângulos e paralelismo, multiplica comprimentos por $\left|k\right|$ e áreas por $k^{2}$. Retas que não passam pelo centro são enviadas a retas paralelas.

Centros de semelhança de dois círculos

Tangentes comuns externas de dois círculos determinam um centro de homotetia externa; tangentes comuns internas determinam um centro de homotetia interna.

Esses centros pertencem à linha dos centros e transformam uma circunferência na outra com razão igual à razão entre os raios, positiva no caso externo e negativa no caso interno.

Divisão harmônica

Quatro pontos colineares A, B, C e D formam uma divisão harmônica quando as razões orientadas A$\frac{C}{C}$B e A$\frac{D}{D}$B são opostas. Escreve-se $(A,B;C,D)=-1$.

A configuração aparece em bissetrizes interna e externa de um triângulo e é preservada por projeções centrais, conectando a geometria métrica à projetiva.

Ptolomeu em quadriláteros cíclicos

Em um quadrilátero convexo inscrito, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos. A recíproca também caracteriza a ciclicidade em configurações convexas.

O teorema produz identidades trigonométricas e permite calcular diagonais sem decompor o quadrilátero em vários triângulos.

Pitot e quadriláteros tangenciais

Se um quadrilátero convexo possui uma circunferência inscrita tangente aos quatro lados, as somas dos comprimentos de lados opostos são iguais.

A igualdade decorre dos segmentos tangentes de um mesmo vértice. Sua recíproca exige hipóteses de convexidade e positividade adequadas.

Euler para as diagonais

Em qualquer quadrilátero, a soma dos quadrados dos quatro lados é igual à soma dos quadrados das diagonais acrescida de quatro vezes o quadrado do segmento que une os pontos médios das diagonais.

Quando as diagonais têm o mesmo ponto médio, como em um paralelogramo, o último termo desaparece e obtemos a lei do paralelogramo.