Conteúdo teórico de Álgebra

Valor posicional

Em uma base b, são usados algarismos de 0 até b−1. Da direita para a esquerda, as posições representam potências sucessivas de b: unidades, b, $b^{2}$, $b^{3}$ e assim por diante.

A escrita decimal é apenas o caso $b=10$. Computadores usam frequentemente a base 2, enquanto agrupamentos em base 8 e base 16 compactam sequências binárias.

Conversão entre bases

Para converter uma escrita em base b para decimal, expanda o número em potências de b. No sentido inverso, divida repetidamente pelo novo valor de base e leia os restos de baixo para cima.

Uma conversão deve ser conferida reconstruindo o valor decimal. Esse cuidado evita erros de ordem nos restos e o uso de algarismos que não existem na base.

• Expanda para chegar à base 10.
• Use divisões sucessivas para sair da base 10.
• Confira se todo algarismo é menor que a base.

Do padrão à demonstração

Raciocínio indutivo, no sentido cotidiano, parte de exemplos para formular uma conjectura. Raciocínio dedutivo usa premissas aceitas para concluir algo que necessariamente deve ser verdadeiro.

Uma conjectura pode sobreviver a milhares de testes e ainda falhar depois. Por isso, a Matemática separa a descoberta de um padrão da prova que garante sua validade geral.

• Exemplos ajudam a descobrir.
• Contraexemplo derruba uma afirmação universal.
• Demonstração explica por que a regra vale em todos os casos.

Princípio de indução

A prova por indução possui duas partes. Primeiro verifica-se a base, geralmente $n=1$. Depois, assume-se a afirmação verdadeira para um natural k e demonstra-se que essa hipótese implica o caso k+1.

O princípio da boa ordenação afirma que todo subconjunto não vazio dos naturais possui um menor elemento. Ele é equivalente, em força lógica, ao princípio de indução e fundamenta argumentos por menor contraexemplo.

Algoritmo da divisão

Dados inteiros a e b, com b positivo, existem quociente q e resto r tais que $a=bq+r$. A condição $0\le r<b$ impede que o mesmo número tenha duas descrições diferentes.

Quando $r=0$, dizemos que b divide a. Essa linguagem permite tratar critérios, múltiplos, fatores e algoritmos sem depender de exemplos particulares.

Critérios e expressão decimal

Critérios de divisibilidade são consequências da representação decimal e das congruências de potências de 10. Por exemplo, como 10 deixa resto 1 na divisão por 9, um número tem o mesmo resto que a soma de seus algarismos.

A expressão decimal de um racional termina ou entra em repetição. Isso ocorre porque, em divisões sucessivas, há apenas um número finito de restos possíveis.

• Por 2: último algarismo par.
• Por 5: termina em 0 ou 5.
• Por 9: soma dos algarismos múltipla de 9.
• Por 11: diferença alternada dos algarismos múltipla de 11.

Primos e compostos

Um inteiro maior que 1 é primo quando possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Caso contrário, é composto e pode ser escrito como produto de inteiros menores que ele.

Para testar se n é primo, basta procurar divisores primos até $\sqrt{n}$. Se existisse uma fatoração $n=ab$ com ambos maiores que $\sqrt{n}$, o produto ultrapassaria n.

Fatoração e quantidade de divisores

Todo inteiro positivo maior que 1 pode ser decomposto em produto de primos. Desconsiderando a ordem dos fatores, essa decomposição é única.

Na fatoração canônica de um inteiro, cada divisor escolhe um expoente entre zero e o expoente do respectivo fator primo. Multiplicar as quantidades de escolhas fornece o número de divisores positivos.

Máximo divisor comum

O MDC de dois inteiros não simultaneamente nulos é o maior inteiro positivo que divide ambos. O algoritmo de Euclides substitui o par (a,b) por (b,r), em que r é o resto de a por b.

A substituição preserva os divisores comuns: um número divide a e b exatamente quando divide b e $a-bq=r$. O processo termina quando o resto se torna zero.

Mínimo múltiplo comum

O MMC é o menor múltiplo positivo comum. Na fatoração, usa o maior expoente de cada primo presente; o MDC usa o menor expoente comum.

Para inteiros positivos, o produto do MDC pelo MMC é igual ao produto dos números. Essa relação permite obter uma das medidas quando a outra é conhecida.

Condição de existência

A equação $ax+by=c$ possui solução inteira exatamente quando $mdc(a,b)$ divide c. A identidade de Bézout fornece uma solução particular quando essa condição é satisfeita.

Depois de encontrar um par ($x_{0}$,$y_{0}$), todas as soluções são obtidas adicionando múltiplos apropriados. Restrições como $x\ge 0$ e $y\ge 0$ selecionam apenas parte dessa família.

Modelagem discreta

Problemas de moedas, pacotes, ingressos e combinações de medidas levam naturalmente a equações diofantinas. O contexto costuma exigir soluções não negativas, mesmo que a equação admita infinitas soluções inteiras.

Uma estratégia eficiente é simplificar a equação pelo MDC, encontrar uma solução por inspeção ou pelo algoritmo de Euclides estendido e só então impor as restrições do problema.

• Verifique o MDC antes de tentar resolver.
• Encontre uma solução particular.
• Escreva a família geral.
• Aplique as condições do contexto.

Definição e operações

Escrevemos a≡b (mod m) quando a e b deixam o mesmo resto na divisão por m. Isso equivale a dizer que m divide a−b.

Congruências podem ser somadas e multiplicadas. A divisão exige cuidado: cancelar um fator só é sempre permitido quando ele é coprimo com o módulo.

Ciclos e equações modulares

Potências costumam repetir restos. Identificar o período reduz expoentes grandes a posições pequenas no ciclo.

A congruência ax≡b (mod m) tem solução quando $mdc(a,m)$ divide b. Se a e m são coprimos, a possui inverso modular e a solução é única módulo m.

• Reduza cada número pelo resto.
• Procure ciclos de potências.
• Use inverso modular somente quando existir.
• Apresente a solução como classe de restos.

Estrutura e operações

Um polinômio em x é uma soma finita de termos aₖxᵏ. O maior expoente com coeficiente não nulo é o grau. Somar combina coeficientes de mesmo grau; multiplicar distribui os termos e soma expoentes.

Sobre um corpo, como os reais ou racionais, todo coeficiente não nulo pode ser dividido. Essa possibilidade garante uma divisão polinomial análoga à divisão euclidiana.

Divisão com resto

Dados P e D não nulo, existem únicos Q e R tais que $P=DQ+R$, com $R=0$ ou grau de R menor que o grau de D.

Quando $D=x-a$, o resto é o número $P(a)$. Essa forma rápida, conhecida como Teorema do Resto, conecta divisão e raízes.

Raízes e fatores

O número a é raiz de P quando $P(a)=0$. Pelo Teorema do Fator, isso acontece exatamente quando x−a divide P.

Uma raiz de multiplicidade m corresponde ao fator $(x-a)^{m}$. No gráfico real, multiplicidade par costuma produzir contato com o eixo; multiplicidade ímpar produz travessia.

Irredutibilidade e conjunto de coeficientes

Um polinômio é irredutível quando não pode ser escrito como produto de polinômios de graus menores no conjunto de coeficientes considerado. A resposta pode mudar ao ampliar esse conjunto.

Por exemplo, $x^{2}$+1 é irredutível sobre os reais, mas se decompõe em (x−i)(x+i) sobre os complexos. Portanto, toda afirmação de irredutibilidade deve indicar o contexto.

• Procure raízes racionais entre divisores do termo constante.
• Use agrupamento e produtos notáveis.
• Verifique multiplicidades.
• Declare o conjunto de coeficientes.