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Exercícios resolvidos de Álgebra

Construa raciocínio algébrico com sistemas de numeração, indução, divisibilidade, congruências e polinômios. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Interpretar o máximo divisor comum como uma quantidade máxima de grupos iguais.

Antes de começar: Divisibilidade e divisão com resto.

Uma situação para resolver

Uma escola possui 72 lápis e 54 borrachas. Quer montar o maior número de kits idênticos, usando todos os itens. Quantos kits serão feitos?

  1. O número de kits precisa dividir 72 e 54. Procuramos o maior divisor comum.
  2. Pelo algoritmo de Euclides: 72=54+1872=54+18 e 54=3⋅1854=3\cdot 18. O último resto não nulo é 18.
  3. Divida os itens entre 18 kits: cada kit recebe 7218=4\frac{72}{18}=4 lápis e 5418=3\frac{54}{18}=3 borrachas.

Conclusão: 18 kits, cada um com 4 lápis e 3 borrachas.

Equações do 1º grau

Questão 1

Fácil

Resolva: 4x+2=184x + 2 = 18.

  1. 2
  2. 4
  3. 5
  4. 8
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Resposta: 4

4x=164x = 16, então x=4x = 4.

Produtos notáveis

Questão 1

Médio

Qual é o desenvolvimento de (x+3)2(x + 3)^{2}?

  1. x2x^{2} + 9
  2. x2x^{2} + 3x + 9
  3. x2x^{2} + 6x + 9
  4. x2x^{2} − 6x + 9
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Resposta: x2x^{2} + 6x + 9

Pelo quadrado da soma: (x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}.

Sistemas lineares

Questão 1

Difícil

Se 2x+y=72x + y = 7 e x−y=2x - y = 2, qual é o valor de x?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
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Resposta: 3

Somando as equações: 3x=93x = 9. Portanto, x=3x = 3.

Sistemas de numeração

Questão 1

Fácil

Qual é o valor decimal de (10110)₂?

  1. 18
  2. 20
  3. 22
  4. 24
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Resposta: 22

Expanda pelas potências de 2: 1⋅16+0⋅8+1⋅4+1⋅2+0=221\cdot 16+0\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+0=22.

Questão 2

Médio

Como o número decimal 65 é escrito na base 4?

  1. (1001)₄
  2. (1010)₄
  3. (1101)₄
  4. (4001)₄
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Resposta: (1001)₄

Como 65=1⋅43+0⋅42+0⋅4+165=1\cdot 4^{3}+0\cdot 4^{2}+0\cdot 4+1, sua representação é (1001)₄.

Indução e boa ordenação

Questão 1

Fácil

Em uma prova por indução, qual etapa confirma o primeiro valor do domínio?

  1. Hipótese de indução
  2. Caso base
  3. Contrapositiva
  4. Contraexemplo
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Resposta: Caso base

O caso base verifica diretamente a primeira afirmação da cadeia, como P(1)P(1).

Questão 2

Médio

A identidade 1+2+⋯+n=nn+12foi+n=n\frac{n+1}{2} foi demonstrada por indução. Qual é a soma para n=50n=50?

  1. 1.225
  2. 1.250
  3. 1.275
  4. 2.550
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Resposta: 1.275

Substituindo n=50:50⋅512=25⋅51=1n=50: 50\cdot \frac{51}{2}=25\cdot 51=1.275.

Divisão e divisibilidade

Questão 1

Fácil

Na divisão euclidiana de 389 por 17, quais são o quociente e o resto?

  1. q=21q=21 e r=15r=15
  2. q=22q=22 e r=15r=15
  3. q=22q=22 e r=17r=17
  4. q=23q=23 e r=2r=2
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Resposta: q=22q=22 e r=15r=15

17⋅22=37417\cdot 22=374 e 389−374=15389-374=15, com 0≤15<170\le 15<17.

Questão 2

Médio

Qual afirmação sobre 27.456 é verdadeira?

  1. É divisível por 9
  2. É divisível por 11
  3. É divisível por 3, mas não por 9
  4. Não é divisível por 3
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Resposta: É divisível por 3, mas não por 9

A soma dos algarismos é 2+7+4+5+6=242+7+4+5+6=24. Como 24 é múltiplo de 3, mas não de 9, vale a terceira opção.

Primos e fatoração

Questão 1

Médio

Qual é a fatoração prima de 1.386?

  1. 2·323^{2}·7·11
  2. 222^{2}·3·7·11
  3. 2·3·727^{2}·11
  4. 2·333^{3}·7
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Resposta: 2·323^{2}·7·11

1.386=2⋅693=2⋅3⋅231=2⋅32⋅77=2⋅32⋅7⋅111.386=2\cdot 693=2\cdot 3\cdot 231=2\cdot 3^{2}\cdot 77=2\cdot 3^{2}\cdot 7\cdot 11.

Questão 2

Difícil

Quantos divisores positivos possui N=24⋅32⋅5N=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5?

  1. 18
  2. 24
  3. 30
  4. 40
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Resposta: 30

A quantidade é (4+1)(2+1)(1+1)=5⋅3⋅2=30(1+1)=5\cdot 3\cdot 2=30.

MDC e MMC

Questão 1

Médio

Qual é o máximo divisor comum de 420 e 288?

  1. 6
  2. 12
  3. 24
  4. 36
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Resposta: 12

Pelo algoritmo de Euclides: 420=288+132420=288+132; 288=2⋅132+24288=2\cdot 132+24; 132=5⋅24+12132=5\cdot 24+12; 24=2⋅1224=2\cdot 12.

Questão 2

Difícil

Sabendo que mdc(420,288)=12mdc(420{,}288)=12, qual é mmc(420,288)mmc(420{,}288)?

  1. 840
  2. 5.040
  3. 10.080
  4. 120.960
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Resposta: 10.080

Para positivos, mdc⋅mmc=abmdc\cdot mmc=ab. Logo, mmc=420⋅28812=10mmc=420\cdot \frac{288}{12}=10.080.

Equações diofantinas

Questão 1

Fácil

A equação 14x+21y=2014x+21y=20 possui solução inteira?

  1. Sim, porque 14 divide 20
  2. Sim, porque 21 é múltiplo de 7
  3. Não, porque 7 não divide 20
  4. Não, porque x e y seriam positivos
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Resposta: Não, porque 7 não divide 20

O mdc(14,21)=7mdc(14{,}21)=7. Uma solução inteira existe somente se 7 dividir o termo 20, o que não ocorre.

Questão 2

Difícil

Qual família descreve todas as soluções inteiras de 4x+7y=14x+7y=1?

  1. x=2+7tx=2+7t e y=−1−4ty=-1-4t
  2. x=2+4tx=2+4t e y=−1−7ty=-1-7t
  3. x=−2+7tx=-2+7t e y=1−4ty=1-4t
  4. x=2+7tx=2+7t e y=1+4ty=1+4t
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Resposta: x=2+7tx=2+7t e y=−1−4ty=-1-4t

(2,−1) é solução, pois 8−7=18-7=1. Todas são x=2+7tx=2+7t e y=−1−4ty=-1-4t, com t inteiro.

Congruências

Questão 1

Médio

Qual é o resto de 3153^{15} na divisão por 7?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 6
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Resposta: 6

Como 363^{6}≡1 (mod 7) e 15=2⋅6+315=2\cdot 6+3, temos 3153^{15}≡33=27≡6(mod7)3^{3}=27≡6 (mod 7).

Questão 2

Difícil

Quais classes resolvem 4x≡6 (mod 10)?

  1. x≡1 ou 6 (mod 10)
  2. x≡2 ou 7 (mod 10)
  3. x≡4 ou 9 (mod 10)
  4. x≡5 (mod 10)
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Resposta: x≡4 ou 9 (mod 10)

Dividindo por mdc(4,10)=2:2x≡3(mod5)mdc(4{,}10)=2: 2x≡3 (mod 5). O inverso de 2 é 3, então x≡4 (mod 5), isto é, 4 ou 9 módulo 10.

Polinômios, raízes e fatoração

Questão 1

Fácil

Qual é o resto de P(x)=x3+2x−5naP(x)=x^{3}+2x-5 na divisão por x−3?

  1. 14
  2. 22
  3. 28
  4. 32
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Resposta: 28

Pelo Teorema do Resto, calcule P(3)=27+6−5=28P(3)=27+6-5=28.

Questão 2

Médio

Qual é a fatoração de x3x^{3}+2x2+2x^{2}−x−2?

  1. (x+2)(x−1)(x+1)
  2. (x−2)(x−1)(x+1)
  3. (x+2)(x2x^{2}+1)
  4. x(x+2)x(x+2)(x−1)
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Resposta: (x+2)(x−1)(x+1)

Agrupando: x2x^{2}(x+2)−1(x+2)=(x+2)(x2−1)=(x+2)(x−1)(x+1)(x+2)-1(x+2)=(x+2)(x^{2}-1)=(x+2)(x-1)(x+1).

Questão 3

Difícil

Qual polinômio é irredutível sobre os números reais?

  1. x2x^{2}−4
  2. x2x^{2}+4
  3. x2x^{2}−2x+1
  4. x2x^{2}+x
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Resposta: x2x^{2}+4

x2x^{2}+4 não possui raiz real e, por ter grau 2, não se fatora em polinômios lineares reais.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Álgebra. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.