Conteúdo teórico de Funções

De relação a função

Uma relação entre dois conjuntos A e B é qualquer coleção de pares ordenados (x, y) com x em A e y em B. Uma função é uma relação especial: todo elemento do conjunto de partida deve participar e deve estar associado a um único elemento do conjunto de chegada.

A palavra único é decisiva. Uma mesma saída pode receber setas de várias entradas, porém uma mesma entrada não pode produzir duas saídas diferentes. Também não é permitido deixar uma entrada do domínio sem correspondência.

• Todo x do domínio deve possuir uma imagem.
• Cada x possui somente uma imagem $f(x)$.
• A correspondência muitos-para-um pode definir função; um-para-muitos, não.

Definição e notação

Escrevemos f: $A \to B$ para indicar uma função de A em B. A lei $y = f(x)$ descreve como a saída é obtida. A letra x representa uma variável independente; y ou $f(x)$ representa a variável dependente.

Calcular $f(a)$ significa substituir x por a na lei da função. O símbolo f não é uma variável multiplicando x: ele nomeia a correspondência inteira.

Domínio, contradomínio e imagem

O domínio $D(f)$ reúne as entradas para as quais a função está definida. O contradomínio é o conjunto declarado como destino. A imagem $\operatorname{Im}(f)$ contém apenas os valores do contradomínio que são efetivamente atingidos.

Em fórmulas reais, o domínio pode ser restringido por denominadores, raízes de índice par ou condições do contexto. Denominadores devem ser diferentes de zero e radicandos de raízes pares devem ser não negativos.

Representações e igualdade de funções

Uma função pode ser apresentada por diagrama de setas, tabela, conjunto de pares, fórmula, gráfico ou descrição verbal. Representações diferentes podem comunicar a mesma dependência.

Duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e atribuem a mesma imagem a cada entrada. Ter fórmulas visualmente parecidas não é suficiente quando os domínios são diferentes.

Casos fundamentais

A função constante tem a forma $f(x) = c$ e produz uma reta horizontal. A função identidade $f(x) = x$ devolve a própria entrada. A função linear $f(x) = ax$ passa pela origem. A função afim $f(x) = ax + b$, com a diferente de zero, reúne o caso geral de uma reta não horizontal.

Em uma situação de taxa constante, a representa a variação da saída quando x aumenta uma unidade, enquanto b representa o valor inicial observado em $x = 0$.

Gráfico e coeficientes

O gráfico de uma função afim é uma reta. Dois pontos distintos já são suficientes para determiná-la. O coeficiente angular a mede a razão Δ$\frac{y}{\Delta }$x e o coeficiente linear b fornece o ponto (0, b).

Retas com o mesmo coeficiente angular são paralelas. Quando os coeficientes angulares são diferentes, as retas se interceptam em exatamente um ponto.

Zero, crescimento e imagem

O zero ou raiz é a entrada que torna $f(x) = 0$. Em $f(x) = ax + b$, a raiz é −$\frac{b}{a}$. Quando $a > 0$, a função é crescente; quando $a < 0$, é decrescente.

Se o domínio e o contradomínio são reais e a é diferente de zero, a imagem é todo o conjunto dos reais. Na função constante, a imagem possui um único valor.

Sinal e inequações

Estudar o sinal de f significa descobrir onde $f(x)$ é positiva, negativa ou nula. A raiz separa a reta em dois intervalos; a inclinação informa de que lado estão os valores positivos.

Em inequações-produto e inequações-quociente, marcamos os zeros de cada fator, dividimos a reta real em intervalos e analisamos os sinais. Valores que anulam denominadores nunca pertencem à solução.

Definição, gráfico e concavidade

Uma função quadrática tem a forma $f(x) = ax^{2} + bx + c$, com a diferente de zero. Seu gráfico é uma parábola de eixo vertical.

Quando $a > 0$, a concavidade é voltada para cima; quando $a < 0$, é voltada para baixo. O valor $c = f(0)$ marca a interseção com o eixo y.

Forma canônica, discriminante e zeros

Completar quadrados transforma a lei geral em forma canônica e revela diretamente o vértice. O discriminante Δ indica quantos pontos o gráfico tem em comum com o eixo x.

Se $\Delta > 0$, existem duas raízes reais distintas; se $\Delta = 0$, existe uma raiz real dupla; se $\Delta < 0$, não existem raízes reais.

Vértice, extremo, eixo e imagem

O vértice $V(x_{v}, y_{v})$ é o ponto mínimo quando $a > 0$ e máximo quando $a < 0$. A reta $x = x_{v}$ é o eixo de simetria da parábola.

A imagem depende do extremo: se $a > 0$, os valores de f são maiores ou iguais a $y_{v}$; se $a < 0$, são menores ou iguais a $y_{v}$.

Sinal e inequações quadráticas

O estudo do sinal combina concavidade e raízes. Com duas raízes reais e $a > 0$, a função é positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa dentro dele; para $a < 0$, os sinais se invertem.

Quando não há raízes reais, a função mantém o sinal de a em todo o domínio. Em inequações, os pontos onde $f(x) = 0$ são incluídos apenas quando o símbolo admite igualdade.

Funções definidas por partes

Uma mesma função pode usar leis diferentes em intervalos diferentes do domínio. Para calcular seu valor, primeiro identificamos em qual condição a entrada se encontra e, então, aplicamos a sentença correspondente.

Nos gráficos, pontos fechados indicam extremos incluídos; pontos abertos indicam valores excluídos. É importante verificar o comportamento nos pontos de mudança de fórmula.

Módulo de um número real

O módulo $\left|x\right|$ é a distância de x até zero na reta real. Por isso, nunca é negativo. Se x é não negativo, $\left|x\right| = x$; se x é negativo, $\left|x\right| = -x$.

A interpretação como distância torna equações e inequações modulares mais claras e reduz a dependência de regras memorizadas.

Gráfico e transformações

O gráfico de $y = \left|x\right|$ tem forma de V, vértice na origem e simetria em relação ao eixo y. Em $y = \left|x - h\right| + k$, o vértice passa para (h, k).

Para construir $y = \left|g(x)\right|$, preservamos os trechos do gráfico de g que estão acima do eixo x e refletimos para cima os trechos negativos.

Equações e inequações modulares

Se $k \ge 0$, a equação $\left|u\right|$ = k equivale a u = k ou $u = -k$. A inequação $\left|u\right| < k$ descreve valores de u entre −k e k; $\left|u\right| > k$ descreve valores fora desse intervalo.

Quando o segundo membro é negativo, $\left|u\right| = k$ não possui solução real e $\left|u\right| > k$ é verdadeira para todo u real.

Função cúbica

A função $f(x) = x^{3}$ é crescente em todo o conjunto dos reais, possui domínio e imagem reais e é simétrica em relação à origem. Entradas opostas produzem saídas opostas.

Translações como $f(x) = (x - h)^{3} + k$ deslocam o ponto central do gráfico para (h, k), sem alterar seu formato básico.

Função recíproca

Na função $f(x) = \frac{1}{x}$, zero não pertence ao domínio e zero não pertence à imagem. O gráfico é uma hipérbole com ramos nos quadrantes I e III.

Os eixos $x = 0$ e $y = 0$ são assíntotas: o gráfico pode se aproximar indefinidamente deles, mas não os intercepta.

Função máximo inteiro ou piso

A função piso $\left\lfloor x \right\rfloor$ associa a cada real x o maior inteiro menor ou igual a x. O gráfico é formado por segmentos horizontais com extremidade esquerda fechada e direita aberta.

Para números negativos, o piso se desloca para o inteiro imediatamente menor: $\left\lfloor -1{,}2 \right\rfloor = -2,$ e não −1.

Leitura comparativa dos gráficos

Domínio, imagem, continuidade, simetria e monotonicidade ajudam a diferenciar famílias de funções. Antes de calcular, observe onde o gráfico existe, quais valores atinge e como se comporta perto de pontos especiais.

Função composta

Se f leva elementos de A para B e g leva elementos de B para C, a composta g ∘ f leva A diretamente para C pela regra (g ∘ f)$(x) = g(f(x))$. A ordem de aplicação vai da direita para a esquerda.

A composição só está definida quando as saídas produzidas por f podem ser usadas como entradas de g. Em geral, g ∘ f e f ∘ g são funções diferentes.

Injetora, sobrejetora e bijetora

Uma função é injetora quando entradas distintas produzem saídas distintas. É sobrejetora quando sua imagem coincide com o contradomínio. É bijetora quando reúne as duas propriedades.

A injetividade depende de não repetir imagens; a sobrejetividade depende do contradomínio escolhido. Por isso, uma mesma lei pode ser sobrejetora em um conjunto de chegada e deixar de ser em outro.

• Injetora: $f(x_{1}) = f(x_{2})$ implica $x_{1}$ = $x_{2}$.
• Sobrejetora: para todo y do contradomínio existe x com $f(x) = y$.
• Bijetora: cada saída possui exatamente uma entrada correspondente.

Função inversa

Uma função bijetora f: $A \to B$ possui inversa $f^{-1}$: B → A. A inversa desfaz a ação de f: aplicar f e depois $f^{-1}$ devolve a entrada inicial.

Para obter uma fórmula, escrevemos $y = f(x)$, isolamos x em função de y e então trocamos os nomes das variáveis. Domínio e imagem trocam de papel.

Interpretação gráfica

Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação à reta $y = x$. O teste da reta horizontal verifica injetividade: se uma horizontal corta o gráfico mais de uma vez, a inversa não pode ser função no domínio considerado.

Funções não injetoras podem se tornar invertíveis após uma restrição adequada do domínio. Por exemplo, $x^{2}$ é invertível em [0, +$\infty$), mas não em todo $\mathbb{R}$.