Apostila completa de Geometria Analítica

01

CAPÍTULO 1

Coordenadas, pontos e vetores

Coordenadas transformam posições em números. Vetores acrescentam direção, sentido e intensidade, permitindo descrever deslocamentos no plano e no espaço.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)

Ponto médio de AB no espaço.

d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Distância entre dois pontos.

\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)

Vetor definido por dois pontos.

Pontos, segmentos e coordenadas

No plano, $P(x,y)$ registra as distâncias orientadas aos eixos. No espaço, $P(x,y,z)$ inclui uma terceira direção perpendicular às duas primeiras.

O ponto médio é obtido pela média das coordenadas dos extremos. A distância entre dois pontos decorre do Teorema de Pitágoras aplicado às diferenças de coordenadas.

M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)

Ponto médio de AB no espaço.

d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Distância entre dois pontos.

Vetores e operações

O vetor de A para B é obtido subtraindo as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final. Vetores iguais possuem as mesmas componentes, ainda que sejam representados em posições diferentes.

Adição combina deslocamentos; multiplicação por escalar altera o comprimento e, se o escalar for negativo, também inverte o sentido. O módulo mede o comprimento do vetor.

\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)

Vetor definido por dois pontos.

\|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}

Módulo de um vetor.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Vetor

Objeto caracterizado por direção, sentido e módulo, representado por suas componentes.

Vetor unitário

Vetor de módulo 1, usado para registrar apenas uma direção orientada.

Vetores paralelos

Vetores u e v para os quais existe um escalar λ com $u=λv$ .

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Representação única em uma base cartesiana

Fixados os eixos ortogonais, cada vetor do plano ou do espaço possui uma única lista de componentes.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Deslocamento e módulo

Dados $A(-2{,}1,3)$ e $B(4,-1{,}6)$ , determine $\to AB$ e seu comprimento.

Subtraia B−A: (4−(−2),−1−1,6−3).
Obtenha (6,−2,3).
Calcule $√(6^{2}+(-2)^{2}$ $+3^{2}$ )= $\sqrt{49}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Divisão de segmento

Encontre o ponto médio de $P(3,-5)$ e $Q(-1{,}7)$ .

Calcule a média das abscissas: (3−1)/2.
Calcule a média das ordenadas: (−5+7)/2.
Reúna as duas coordenadas.

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02

CAPÍTULO 2

Produto escalar, vetorial e misto

Produtos entre vetores extraem informações geométricas: ângulos e projeções pelo produto escalar, perpendicularidade orientada pelo vetorial e volume pelo produto misto.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=\|u\|\|v\|\cos\theta

Produto escalar algébrico e geométrico.

\operatorname{proj}_v u=\frac{u\cdot v}{\|v\|^2}v

Projeção vetorial de u sobre v.

A_{\text{paralelogramo}}=\|u\times v\|

Área pelo produto vetorial.

Produto escalar, ângulo e projeção

O produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes. Geometricamente, ele relaciona os módulos dos vetores ao cosseno do ângulo entre eles.

Vetores não nulos são ortogonais quando o produto escalar é zero. A projeção de u sobre v mede a parte de u na direção de v.

u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=\|u\|\|v\|\cos\theta

Produto escalar algébrico e geométrico.

\operatorname{proj}_v u=\frac{u\cdot v}{\|v\|^2}v

Projeção vetorial de u sobre v.

Produto vetorial, áreas e volumes

No espaço, u×v é perpendicular a u e v. Seu módulo é a área do paralelogramo construído sobre os dois vetores; metade desse valor é a área do triângulo correspondente.

O produto misto u·(v×w) fornece o volume orientado do paralelepípedo. Seu módulo dividido por 6 fornece o volume de um tetraedro determinado por três arestas de mesma origem.

A_{\text{paralelogramo}}=\|u\times v\|

Área pelo produto vetorial.

V=|u\cdot(v\times w)|

Volume do paralelepípedo.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Produto escalar

Número real que combina dois vetores e registra sua relação angular.

Produto vetorial

Vetor perpendicular a dois vetores do espaço, com orientação dada pela regra da mão direita.

Produto misto

Escalar u·(v×w), relacionado ao volume e à coplanaridade.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Critérios de perpendicularidade e coplanaridade

$u\cdot v=0$ caracteriza ortogonalidade de vetores não nulos; $u\cdot (v\times w)=0$ caracteriza coplanaridade dos três vetores.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Ângulo entre vetores

Determine o ângulo entre $u=(1{,}2,2)$ e $v=(2{,}1,-2)$ .

Calcule $u\cdot v=2+2-4=0$ .
Como os vetores são não nulos e o produto escalar é zero, eles são ortogonais.
O ângulo entre vetores ortogonais mede $90^{\circ}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Área por produto vetorial

Qual é a área do triângulo gerado por $u=(2{,}0,0)$ e $v=(0{,}3,0)$ ?

Os vetores são perpendiculares e seus módulos são 2 e 3.
$\left|u\times v\right|=2\cdot 3=6$ é a área do paralelogramo.
Divida por 2 para obter a área do triângulo.

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03

CAPÍTULO 3

Equações da reta

Uma reta fica determinada por um ponto e uma direção. Diferentes formas de equação destacam informações distintas e podem ser convertidas entre si.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

r:\;P=A+t\,v,\quad t\in\mathbb{R}

Equação vetorial da reta.

x=x_0+at,\quad y=y_0+bt,\quad z=z_0+ct

Equações paramétricas.

y-y_0=m(x-x_0)

Forma ponto-inclinação no plano.

Formas vetorial e paramétrica

Se A é um ponto da reta e v é um vetor diretor não nulo, todo ponto P da reta satisfaz $P=A+tv$ . Variar o parâmetro real t percorre a reta nos dois sentidos.

No plano ou no espaço, separar as componentes produz equações paramétricas. Dois pontos distintos fornecem o vetor diretor B−A.

r:\;P=A+t\,v,\quad t\in\mathbb{R}

Equação vetorial da reta.

x=x_0+at,\quad y=y_0+bt,\quad z=z_0+ct

Equações paramétricas.

Formas geral, reduzida e simétrica

No plano, $ax+by+c=0\,\mathrm{u}sa$ o vetor normal n=(a,b). Quando $b\ne 0$ , a forma reduzida y=mx+q evidencia a inclinação m=− $\frac{a}{b}$ .

Quando as componentes do vetor diretor são não nulas, eliminar o parâmetro produz a forma simétrica. Retas verticais exigem tratamento separado e não possuem coeficiente angular finito.

y-y_0=m(x-x_0)

Forma ponto-inclinação no plano.

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}

Forma simétrica no espaço.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Vetor diretor

Vetor não nulo paralelo à reta.

Coeficiente angular

Taxa m de variação vertical por variação horizontal em uma reta não vertical.

Parâmetro

Variável auxiliar cujo conjunto de valores gera todos os pontos da reta.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Determinação de uma reta

Um ponto e um vetor diretor não nulo determinam uma única reta; dois pontos distintos também determinam uma única reta.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Reta por dois pontos

Escreva equações paramétricas da reta por $A(1,-2{,}3)$ e $B(4{,}0,-1)$ .

Calcule $v=B-A=(3{,}2,-4)$ .
Use $P=A+tv$ .
Separe as três componentes.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Forma reduzida

Determine a reta do plano que passa por (2,5) e (−1,−1).

Calcule $m=(5-(-1))/(2-(-1))=\frac{6}{3}=2$ .
Use $y-5=2(x-2)$ .
Isole y.

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04

CAPÍTULO 4

Equações do plano

Um plano pode ser descrito por um ponto e duas direções independentes ou, de forma equivalente, por um ponto e um vetor normal.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\pi:\;ax+by+cz+d=0

Equação geral do plano.

n=(a,b,c)

Vetor normal associado à equação geral.

\pi:\;P=A+s\,u+t\,v,\quad s,t\in\mathbb{R}

Equação vetorial do plano.

Forma geral e vetor normal

Na equação $ax+by+cz+d=0$ , o vetor n=(a,b,c) é perpendicular ao plano. Substituir as coordenadas de um ponto do plano permite determinar d.

Três pontos não colineares determinam um plano. Dois vetores formados por esses pontos produzem um normal por meio do produto vetorial.

\pi:\;ax+by+cz+d=0

Equação geral do plano.

n=(a,b,c)

Vetor normal associado à equação geral.

Formas vetorial e paramétrica

Se u e v são vetores não paralelos contidos no plano e A é um ponto conhecido, então $P=A+su+tv$ descreve todos os pontos do plano.

A independência dos vetores diretores é essencial: se v for múltiplo de u, a expressão gera apenas uma reta.

Ponto $+ normal \to$ forma geral.
Ponto + duas direções independentes $\to$ forma paramétrica.
Três pontos não colineares $\to$ duas direções e um normal.

\pi:\;P=A+s\,u+t\,v,\quad s,t\in\mathbb{R}

Equação vetorial do plano.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Vetor normal

Vetor não nulo perpendicular a todas as direções de um plano.

Vetores diretores do plano

Dois vetores independentes e paralelos ao plano.

Pontos não colineares

Três pontos que não pertencem a uma mesma reta.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Determinação de um plano

Um ponto e um vetor normal não nulo determinam um único plano; três pontos não colineares também.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Plano por ponto e normal

Determine o plano que passa por $P(2,-1{,}3)$ e tem normal $n=(1{,}4,-2)$ .

Use $1(x-2)+4(y+1)-2(z-3)=0$ .
Distribua os termos.
Reúna a constante.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Plano por três pontos

Encontre um normal ao plano por $A(0{,}0,0)$ , $B(1{,}0,1)$ e $C(0{,}2,1)$ .

Forme $u=AB=(1{,}0,1)$ e $v=AC=(0{,}2,1)$ .
Calcule $u\times v=(-2,-1{,}2)$ .
Qualquer múltiplo não nulo também é normal.

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05

CAPÍTULO 5

Posições relativas e ângulos

Vetores diretores e normais permitem decidir paralelismo, perpendicularidade, interseção e ângulos sem depender apenas de um desenho.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

r\parallel s\iff v_r\times v_s=0

Paralelismo de retas no espaço.

r\parallel\pi\iff v_r\cdot n_\pi=0

Paralelismo entre reta e plano.

\cos\theta=\frac{|u\cdot v|}{\|u\|\|v\|}

Ângulo agudo entre direções.

Retas, planos e interseções

Retas têm direções paralelas quando seus vetores diretores são proporcionais. Se não são paralelas, podem ser concorrentes ou reversas no espaço; a existência de um ponto comum decide entre esses casos.

Planos paralelos têm vetores normais proporcionais. Uma reta é paralela a um plano quando seu vetor diretor é ortogonal ao normal do plano.

r\parallel s\iff v_r\times v_s=0

Paralelismo de retas no espaço.

r\parallel\pi\iff v_r\cdot n_\pi=0

Paralelismo entre reta e plano.

Cálculo de ângulos

O ângulo agudo entre retas é calculado pelos vetores diretores. Entre planos, usa-se o ângulo entre os normais.

O ângulo α entre uma reta e um plano é complementar ao ângulo entre o diretor da reta e o normal do plano, o que produz uma fórmula com seno.

\cos\theta=\frac{|u\cdot v|}{\|u\|\|v\|}

Ângulo agudo entre direções.

\sin\alpha=\frac{|v\cdot n|}{\|v\|\|n\|}

Ângulo entre reta e plano.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Retas reversas

Retas espaciais que não são paralelas e não possuem ponto comum.

Planos secantes

Planos distintos cuja interseção é uma reta.

Ângulo entre objetos

Menor ângulo não negativo entre suas direções ou normais apropriados.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Interseção de dois planos

Dois planos distintos e não paralelos intersectam-se em uma reta cuja direção é paralela ao produto vetorial de seus normais.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Planos perpendiculares

Classifique os planos $2x-y+z=0$ e $x+3y+z=4$ quanto ao ângulo.

Use $n_{1}=(2,-1{,}1)$ e $n_{2}=(1{,}3,1)$ .
Calcule $n_{1}\cdot n_{2}=2-3+1=0$ .
Normais ortogonais determinam planos perpendiculares.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Interseção reta-plano

A reta $P=(1{,}0,2)+t(2{,}1,-1)$ intersecta o plano x+y+z=6?

Substitua $x=1+2t, y=t$ e $z=2-t no$ plano.
Obtenha $3+2t=6$ .
Resolva $t=\frac{3}{2}$ e calcule o ponto.

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06

CAPÍTULO 6

Distâncias em coordenadas

Distância é o comprimento do menor segmento que liga os objetos. Vetores, projeções e produtos transformam essa ideia geométrica em fórmulas calculáveis.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Distância de ponto a reta no plano.

d(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Distância de ponto a plano.

d(r,s)=\frac{|(B-A)\cdot(u\times v)|}{\|u\times v\|}

Distância entre retas reversas de diretores u e v.

Ponto-reta e ponto-plano

No plano, a distância de $P(x_{0},y_{0})$ à reta $ax+by+c=0$ mede o valor absoluto da equação normalizado pelo comprimento do vetor normal.

No espaço, a mesma ideia vale para o plano $ax+by+cz+d=0$ . O numerador mede a componente orientada de um deslocamento na direção normal.

d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Distância de ponto a reta no plano.

d(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Distância de ponto a plano.

Retas e planos paralelos

Para objetos paralelos, escolha um ponto de um deles e calcule sua distância ao outro. A distância é constante para qualquer ponto escolhido no mesmo objeto.

Entre retas reversas, a direção perpendicular comum é paralela ao produto vetorial dos diretores. O produto misto fornece a componente da separação nessa direção.

Identifique se os objetos se intersectam: nesse caso, a distância é zero.
Verifique paralelismo antes de aplicar fórmulas específicas.
O valor final de uma distância nunca pode ser negativo.

d(r,s)=\frac{|(B-A)\cdot(u\times v)|}{\|u\times v\|}

Distância entre retas reversas de diretores u e v.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Pé da perpendicular

Ponto em que o menor segmento encontra o objeto de destino.

Distância orientada

Valor com sinal antes da aplicação do módulo em uma fórmula normalizada.

Perpendicular comum

Reta perpendicular a duas retas reversas e que determina sua menor separação.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Princípio da projeção ortogonal

A menor distância de um ponto a uma reta ou plano é medida ao longo de uma direção perpendicular.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Distância de ponto a reta

Calcule a distância de $P(4{,}1)$ à reta $3x-4y-2=0$ .

Substitua P no numerador: $\left|3\cdot 4-4\cdot 1-2\right|=6$ .
Calcule a norma do normal: $√(3^{2}+(-4)^{2}$ )=5.
Divida 6 por 5.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Distância entre planos

Calcule a distância entre $2x-y+2z=3$ e $2x-y+2z=12$ .

Os planos têm o mesmo normal, portanto são paralelos.
A diferença dos termos constantes é $\left|-3-(-12)\right|=9$ .
Divida por $√(2^{2}+(-1)^{2}$ $+2^{2}$ )=3.

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07

CAPÍTULO 7

Circunferência e lugares geométricos

Uma equação pode descrever todos os pontos que obedecem a uma mesma condição de distância. A circunferência é o exemplo fundamental dessa tradução.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Equação reduzida da circunferência.

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

Forma geral, quando representa uma circunferência.

d(C_1,C_2)=r_1+r_2

Tangência externa.

Equações reduzida e geral

A circunferência de centro $C(a,b)$ e raio r reúne pontos P cuja distância a C é r. Elevar a fórmula da distância ao quadrado produz a equação reduzida.

Expandir os quadrados produz a forma geral. O caminho inverso usa completamento de quadrados e exige que o raio obtido seja real e positivo.

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Equação reduzida da circunferência.

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

Forma geral, quando representa uma circunferência.

Posições relativas e tangência

Compare a distância d entre centros com a soma e a diferença dos raios para classificar duas circunferências. Para ponto e circunferência, compare a distância ao centro com o raio.

A tangente em um ponto T é perpendicular ao raio CT. Assim, o vetor T−C funciona como normal da reta tangente.

d(C_1,C_2)=r_1+r_2

Tangência externa.

d(C_1,C_2)=|r_1-r_2|

Tangência interna.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Lugar geométrico

Conjunto de pontos que satisfaz uma condição geométrica comum.

Circunferência

Lugar dos pontos do plano a distância fixa r de um centro C.

Reta tangente

Reta que toca a circunferência em um único ponto e é perpendicular ao raio nesse ponto.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Caracterização métrica

P pertence à circunferência de centro C e raio r se, e somente se, $d(P,C)=r$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Completar quadrados

Determine centro e raio de $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ .

Agrupe $x^{2}$ −6x e $y^{2}$ +4y.
Complete quadrados: $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4=12$ .
Transfira as constantes.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Tangente por um ponto

Encontre a tangente a $x^{2}+y^{2}=25 no$ ponto $T(3{,}4)$ .

O centro é $O(0{,}0)$ , então $OT=(3{,}4)$ é normal à tangente.
Use $3(x-3)+4(y-4)=0$ .
Simplifique.

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08

CAPÍTULO 8

Parábola: foco, diretriz e aplicações

A parábola reúne os pontos equidistantes de um foco e de uma reta diretriz. Sua propriedade refletora aparece em antenas, faróis e trajetórias modeladas por funções quadráticas.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

(y-k)^2=4p(x-h)

Parábola horizontal de vértice (h,k).

(x-h)^2=4p(y-k)

Parábola vertical de vértice (h,k).

F=(h+p,k),\quad d:\;x=h-p

Foco e diretriz da parábola horizontal.

Definição e equações canônicas

O eixo da parábola passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. O vértice fica no ponto médio entre o foco e o ponto correspondente da diretriz sobre o eixo.

O sinal de p determina o sentido da abertura. Translações do vértice substituem x e y por x−h e y−k.

(y-k)^2=4p(x-h)

Parábola horizontal de vértice (h,k).

(x-h)^2=4p(y-k)

Parábola vertical de vértice (h,k).

Elementos e leitura da equação

Em $(y-k)^{2}=4p(x-h)$ , o foco é (h+p,k) e a diretriz é $x=h-p$ . Na versão vertical, foco e diretriz deslocam-se ao longo do eixo y.

A distância $\left|p\right|$ controla o grau de abertura: quanto maior $\left|p\right|$ , mais larga é a parábola na mesma distância do vértice.

F=(h+p,k),\quad d:\;x=h-p

Foco e diretriz da parábola horizontal.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Foco

Ponto fixo usado na definição métrica da parábola.

Diretriz

Reta fixa da qual cada ponto da parábola tem a mesma distância que do foco.

Parâmetro p

Distância orientada do vértice ao foco.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Propriedade refletora

Uma reta paralela ao eixo da parábola reflete-se na tangente em direção ao foco, e reciprocamente.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Equação a partir do foco

Determine a parábola de vértice na origem e foco $F(0{,}3)$ .

O eixo é vertical e $p=3$ .
Use $x^{2}=4py$ .
Substitua $4p=12$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Leitura dos elementos

Encontre vértice, foco e diretriz de $(y-2)^{2}=-8(x+1)$ .

Compare com $(y-k)^{2}=4p(x-h)$ .
Temos $h=-1, k=2$ e $4p=-8$ , logo $p=-2$ .
Calcule foco e diretriz.

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09

CAPÍTULO 9

Elipse, hipérbole e visão das quádricas

Elipses e hipérboles nascem de condições envolvendo a soma ou a diferença de distâncias a dois focos. Suas equações revelam eixos, vértices, focos e assíntotas.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1

Elipse com eixo maior horizontal quando a>b.

c^2=a^2-b^2,\quad e=\frac{c}{a}

Distância focal e excentricidade da elipse.

\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1

Hipérbole horizontal.

Elipse e excentricidade

Na elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto aos focos é constante e igual a 2a. O maior denominador da equação identifica o eixo maior.

A relação $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ fornece a distância focal. A excentricidade $e=\frac{c}{a}$ fica entre 0 e 1; valores próximos de zero indicam figura mais circular.

\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1

Elipse com eixo maior horizontal quando a>b.

c^2=a^2-b^2,\quad e=\frac{c}{a}

Distância focal e excentricidade da elipse.

Hipérbole, assíntotas e quádricas

Na hipérbole, o módulo da diferença das distâncias aos focos é 2a. O termo positivo da equação identifica o eixo transversal e o sentido de abertura.

As assíntotas orientam os ramos. No espaço, equações quadráticas em x, y e z produzem superfícies como elipsoides, hiperboloides e paraboloides; cortes planos ajudam a reconhecê-las.

\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1

Hipérbole horizontal.

y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)

Assíntotas da hipérbole horizontal.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Focos

Dois pontos fixos que participam da definição métrica da elipse e da hipérbole.

Excentricidade

Razão que mede o afastamento de uma cônica em relação ao comportamento circular.

Assíntota

Reta da qual o ramo de uma curva se aproxima indefinidamente.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Classificação pelo sinal

Na forma canônica, a soma de dois termos quadráticos positivos igual a 1 descreve elipse; a diferença de termos quadráticos igual a 1 descreve hipérbole.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Elementos da elipse

Determine focos e excentricidade de $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ .

O maior denominador é 25, então $a=5$ e o eixo maior é horizontal.
Calcule $c^{2}=25-9=16$ , portanto $c=4$ .
Os focos são (±4,0) e $e=\frac{c}{a}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Assíntotas da hipérbole

Encontre as assíntotas de $(x-1)^{2}/16-(y+2)^{2}/9=1$ .

Identifique centro (1,−2), $a=4$ e $b=3$ .
Use $y-k=\pm (\frac{b}{a})(x-h)$ .
Substitua os valores.

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10

CAPÍTULO 10

Cônicas pela excentricidade e pela diretriz

Elipse, parábola e hipérbole podem ser reunidas em uma única definição: a razão entre a distância de um ponto ao foco e sua distância a uma diretriz é constante.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\frac{PF}{d(P,d)}=e

Definição unificada de uma cônica por foco e diretriz.

0<e<1\Rightarrow\text{elipse},\quad e=1\Rightarrow\text{parábola},\quad e>1\Rightarrow\text{hipérbole}

Classificação pela excentricidade.

x=h\pm\frac{a}{e}

Diretrizes de elipse ou hipérbole horizontal de centro (h,k).

Definição foco-diretriz

Fixados um foco F, uma reta diretriz d e um número positivo e, a cônica é o lugar dos pontos P que satisfazem $PF=e\cdot d(P,d)$ . O valor e é a excentricidade.

Quando $0<e<1$ , a curva é uma elipse; quando $e=1$ , é uma parábola; quando $e>1$ , é uma hipérbole. Essa classificação mostra que as três curvas pertencem à mesma família geométrica.

\frac{PF}{d(P,d)}=e

Definição unificada de uma cônica por foco e diretriz.

0<e<1\Rightarrow\text{elipse},\quad e=1\Rightarrow\text{parábola},\quad e>1\Rightarrow\text{hipérbole}

Classificação pela excentricidade.

Diretrizes e corda focal

Nas cônicas centrais de eixo horizontal, as diretrizes são retas verticais simétricas em relação ao centro. Na elipse e na hipérbole, a distância do centro a cada diretriz é $\frac{a}{e}$ .

A corda focal perpendicular ao eixo principal é chamada latus rectum. Seu semicomprimento é $b^{2}$ /a na elipse e na hipérbole, e 2 $\left|p\right|$ na parábola escrita como $y^{2}=4px$ .

x=h\pm\frac{a}{e}

Diretrizes de elipse ou hipérbole horizontal de centro (h,k).

L_{\text{elipse/hipérbole}}=\frac{2b^2}{a},\qquad L_{\text{parábola}}=4|p|

Comprimento da corda focal perpendicular ao eixo.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Diretriz

Reta fixa usada, junto com um foco, para definir uma cônica por uma razão de distâncias.

Excentricidade

Constante positiva $e=\frac{PF}{d}(P,d)$ que classifica e mede a abertura da cônica.

Latus rectum

Corda da cônica que passa por um foco e é perpendicular ao eixo focal.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Classificação foco-diretriz

Uma cônica não degenerada definida por $PF=e\cdot d(P,d)$ é elipse, parábola ou hipérbole conforme e seja menor, igual ou maior que 1.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Diretrizes de uma elipse

Determine as diretrizes de $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ .

Temos $a=5$ e $c=\sqrt{25-9}=4$ .
A excentricidade é $e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$ .
As diretrizes são $x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Cônica pela excentricidade

Uma cônica satisfaz $PF=(\frac{3}{2})d(P,d)$ . Como ela é classificada?

Identifique $e=\frac{3}{2}$ .
Compare e com 1.
Como $e>1$ , a distância ao foco varia mais rapidamente que a distância à diretriz.

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11

CAPÍTULO 11

Tangentes, normais e polares

A tangente registra a direção instantânea de uma cônica; a normal é perpendicular a ela. Equações de contato conectam pontos da curva, secantes limite e propriedades refletoras.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1

Tangente à elipse x²/a²+y²/b²=1 em (x₀,y₀).

\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1

Tangente à hipérbole x²/a²−y²/b²=1 em (x₀,y₀).

yy_0=2p(x+x_0)

Tangente à parábola y²=4px em (x₀,y₀).

Equações de tangente

Em uma cônica central na forma canônica, a equação da tangente em um ponto conhecido é obtida substituindo um fator de cada termo quadrático pelas coordenadas do ponto de contato.

A condição de tangência também pode ser reconhecida substituindo a equação da reta na cônica: a equação resultante possui uma raiz dupla, portanto seu discriminante é zero.

\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1

Tangente à elipse x²/a²+y²/b²=1 em (x₀,y₀).

\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1

Tangente à hipérbole x²/a²−y²/b²=1 em (x₀,y₀).

yy_0=2p(x+x_0)

Tangente à parábola y²=4px em (x₀,y₀).

Normal, polar e reflexão

O gradiente da equação implícita $F(x,y)=0$ é normal à curva. Assim, a reta tangente em P é formada pelos deslocamentos ortogonais a ∇ $F(P)$ .

A equação de contato associada a um ponto exterior descreve sua polar; os pontos de tangência das duas tangentes possíveis pertencem a essa reta. Nas cônicas focais, a tangente também bissecta ângulos determinados pelos raios focais, explicando aplicações ópticas.

\nabla F(x_0,y_0)\cdot\bigl((x,y)-(x_0,y_0)\bigr)=0

Tangente a F(x,y)=0 em um ponto regular.

\nabla F(x_0,y_0)\neq(0,0)

Condição de regularidade do ponto para existir uma tangente única.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Tangente

Reta limite das secantes quando dois pontos de interseção se aproximam de um mesmo ponto regular.

Normal

Reta perpendicular à tangente no ponto de contato.

Polar

Reta associada a um ponto em relação a uma cônica, que reúne pontos de contato quando o ponto é exterior.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Critério algébrico de tangência

Uma reta é tangente a uma cônica não degenerada quando sua substituição na equação da curva produz uma equação quadrática com raiz dupla.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Tangente à elipse

Determine a tangente a $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 no$ ponto (0,3).

Use $\frac{xx_{0}}{16}+\frac{yy_{0}}{9}=1$ .
Substitua $x_{0}=0$ e $y_{0}=3$ .
Obtenha $\frac{3y}{9}=1$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Tangentes por inclinação

Para quais valores de b a reta $y=x+b$ é tangente à parábola $y^{2}$ =8x?

Substitua $x=y-b na$ parábola: $y^{2}$ =8(y−b).
Reorganize $y^{2}-8y+8b=0$ .
Exija $\Delta =64-32b=0$ e resolva.

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12

CAPÍTULO 12

Translações, rotações e equação geral do segundo grau

Uma cônica deslocada ou inclinada pode parecer complicada, mas mudanças de coordenadas revelam sua forma canônica e sua geometria.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

x=X+h,\qquad y=Y+k

Translação da origem para o ponto (h,k).

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

Equação geral de segundo grau em duas variáveis.

\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}

Ângulo que elimina o termo misto quando A≠C.

Translação de eixos

A substituição $x=X+h$ e $y=Y+k$ move a origem para (h,k). Completar quadrados é a versão algébrica dessa translação e elimina os termos lineares de cônicas centrais.

O procedimento preserva comprimentos, ângulos e o tipo da cônica; apenas muda o sistema usado para descrever seus pontos.

x=X+h,\qquad y=Y+k

Translação da origem para o ponto (h,k).

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

Equação geral de segundo grau em duas variáveis.

Rotação e discriminante da cônica

O termo misto Bxy indica que os eixos naturais da cônica podem estar inclinados. Uma rotação ortogonal $x=$ Xcosθ−Ysenθ, y=Xsenθ+Ycosθ pode eliminar esse termo.

Para uma cônica real não degenerada, o sinal de $B^{2}$ −4AC orienta a classificação: negativo para tipo elíptico, zero para tipo parabólico e positivo para tipo hiperbólico. Ainda é preciso verificar degenerações e existência real.

\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}

Ângulo que elimina o termo misto quando A≠C.

\Delta_c=B^2-4AC

Discriminante do bloco quadrático.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Termo misto

Termo Bxy da equação geral, associado à inclinação dos eixos principais.

Mudança ortogonal

Rotação ou reflexão que preserva distâncias e ângulos.

Cônica degenerada

Equação de segundo grau que se reduz a retas, um ponto ou conjunto vazio.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Invariância do tipo quadrático

O sinal de $B^{2}$ −4AC é preservado por rotações ortogonais dos eixos.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Centro por completamento

Reduza $x^{2}+4y^{2}-6x+16y+9=0 à$ forma canônica.

Complete $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ .
Complete $4(y^{2}+4y)=4[(y+2)^{2}-4]$ .
Substitua e simplifique: $(x-3)^{2}+4(y+2)^{2}=16$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Classificação pelo discriminante

Classifique o tipo de $3x^{2}$ +4 $xy+3y^{2}-1=0$ .

Identifique $A=3, B=4$ e $C=3$ .
Calcule $B^{2}$ −4 $AC=16-36=-20$ .
O sinal negativo indica tipo elíptico; a equação possui pontos reais.

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13

CAPÍTULO 13

Parametrizações, cordas e interseções

Equações paramétricas percorrem uma cônica com uma variável auxiliar e tornam mais diretas muitas análises de movimento, interseção e construção.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

x=h+a\cos t,\qquad y=k+b\sin t

Parametrização trigonométrica da elipse.

x=h+pt^2,\qquad y=k+2pt

Parametrização da parábola horizontal.

x=h+a\frac{1+t^2}{1-t^2},\qquad y=k+\frac{2bt}{1-t^2}

Parametrização racional de um ramo da hipérbole.

Parametrizações usuais

Na elipse, as funções seno e cosseno satisfazem automaticamente $\cos^{2}$ t $+\operatorname{sen}^{2}$ $t=1$ . Na hipérbole, funções hiperbólicas cumprem identidade análoga; uma parametrização racional também evita funções especiais.

Na parábola $y^{2}=4px$ , escolher $y=2pt$ força x= $pt^{2}$ . O parâmetro não precisa representar um ângulo: ele apenas identifica pontos da curva.

x=h+a\cos t,\qquad y=k+b\sin t

Parametrização trigonométrica da elipse.

x=h+pt^2,\qquad y=k+2pt

Parametrização da parábola horizontal.

x=h+a\frac{1+t^2}{1-t^2},\qquad y=k+\frac{2bt}{1-t^2}

Parametrização racional de um ramo da hipérbole.

Interseções e cordas

Substituir a reta na cônica reduz o problema a uma equação de segundo grau no parâmetro ou em uma coordenada. Duas raízes reais indicam secante, uma raiz dupla indica tangente e nenhuma raiz real indica reta exterior.

O ponto médio de uma corda, a direção dos diâmetros e a simetria central de elipses e hipérboles podem ser investigados pelas somas das raízes da equação de interseção.

\Delta>0\Rightarrow2\text{ pontos},\quad\Delta=0\Rightarrow\text{tangência},\quad\Delta<0\Rightarrow0\text{ pontos reais}

Classificação de uma reta em relação à cônica.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Parametrização

Representação das coordenadas dos pontos de uma curva por funções de um parâmetro.

Corda

Segmento cujas extremidades pertencem à cônica.

Diâmetro de uma cônica

Lugar dos pontos médios de uma família de cordas paralelas.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Teste de interseção

A quantidade de pontos reais comuns entre uma reta e uma cônica é dada pela quantidade de raízes reais da equação obtida por substituição.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Ponto por parâmetro

Na elipse $x=4cos t$ e $y=3sen t$ , determine o ponto para $t=\frac{\pi }{6}$ .

Use $\cos(\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Use $\operatorname{sen}(\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$ .
Multiplique pelas semidimensões.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Reta e circunferência

Classifique a reta $y=2$ em relação à circunferência $x^{2}$ $+y^{2}$ =9 e determine as interseções.

Substitua $y=2: x^{2}+4=9$ .
Obtenha $x^{2}=5$ , com duas raízes reais.
Calcule $x=\pm \sqrt{5}$ .

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Pontos, segmentos e coordenadas

Vetores e operações

Deslocamento e módulo

Divisão de segmento

Produto escalar, ângulo e projeção

Produto vetorial, áreas e volumes

Ângulo entre vetores

Área por produto vetorial

Formas vetorial e paramétrica

Formas geral, reduzida e simétrica

Reta por dois pontos

Forma reduzida

Forma geral e vetor normal

Formas vetorial e paramétrica

Plano por ponto e normal

Plano por três pontos

Retas, planos e interseções

Cálculo de ângulos

Planos perpendiculares

Interseção reta-plano

Ponto-reta e ponto-plano

Retas e planos paralelos

Distância de ponto a reta

Distância entre planos

Equações reduzida e geral

Posições relativas e tangência

Completar quadrados

Tangente por um ponto

Definição e equações canônicas

Elementos e leitura da equação

Equação a partir do foco

Leitura dos elementos

Elipse e excentricidade

Hipérbole, assíntotas e quádricas

Elementos da elipse

Assíntotas da hipérbole

Definição foco-diretriz

Diretrizes e corda focal

Diretrizes de uma elipse

Cônica pela excentricidade

Equações de tangente

Normal, polar e reflexão

Tangente à elipse

Tangentes por inclinação

Translação de eixos

Rotação e discriminante da cônica

Centro por completamento

Classificação pelo discriminante

Parametrizações usuais

Interseções e cordas

Ponto por parâmetro

Reta e circunferência

O que observar ao estudar

Uma situação para resolver

Exercícios de Geometria Analítica