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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, A=(1,2)A=(1{,}2) e B=(7,10)B=(7{,}10). Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

  1. As diferenças horizontal e vertical são 7−1=67-1=6 e 10−2=810-2=8.
  2. Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é d=62+82=100=10d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10.
  3. Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Vetores e coordenadas

Questão 1

Fácil

Qual é o ponto médio de A(2,4)A(2{,}4) e B(8,10)B(8{,}10)?

  1. (4,6)
  2. (5,7)
  3. (6,8)
  4. (10,14)
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Resposta: (5,7)

M=(2+82,4+102)=(5,7)M=(\frac{2+8}{2},\frac{4+10}{2})=(5{,}7).

Questão 2

Médio

Qual é a distância entre (−1,2) e (3,5)?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 7
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Resposta: 5

d=42+32=5d=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.

Questão 3

Médio

Os pontos (0,0), (2,0) e (0,3) formam triângulo de área:

  1. 2
  2. 3
  3. 5
  4. 6
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Resposta: 3

É um triângulo retângulo: A=2⋅32=3A=2\cdot \frac{3}{2}=3.

Questão 4

Fácil

Qual é o vetor →AB\to AB para A(−1,3)A(-1{,}3) e B(4,−2)B(4,-2)?

  1. (3,1)
  2. (5,−5)
  3. (−5,5)
  4. (4,−6)
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Resposta: (5,−5)

Subtraia B−A: (4−(−1),−2−3)=(5,−5).

Questão 5

Médio

Qual é a distância entre P(1,−2,3)P(1,-2{,}3) e Q(5,1,3)Q(5{,}1,3)?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 7
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 5

As diferenças são 4, 3 e 0; d=42+32=5d=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.

Equações da reta

Questão 1

Fácil

Qual é a equação da reta de inclinação 3 que passa por (0,−2)?

  1. y=3x−2y=3x-2
  2. y=−2x+3y=-2x+3
  3. y=3x+2y=3x+2
  4. y=x−6y=x-6
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Resposta: y=3x−2y=3x-2

Na forma y=mx+b,m=3y=mx+b, m=3 e b=−2b=-2.

Questão 2

Difícil

A reta pelos pontos (1,2) e (5,10) tem inclinação:

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 2
  3. 4
  4. 8
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Resposta: 2

m=10−25−1=84=2m=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2.

Questão 3

Fácil

Qual é o coeficiente angular da reta 2x+y−7=02x+y-7=0?

  1. −2
  2. −12\frac{1}{2}
  3. 2
  4. 7
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Resposta: −2

Isolando y: y=−2x+7y=-2x+7. Portanto, m=−2m=-2.

Questão 4

Médio

Qual vetor é diretor da reta x=2+3t,y=−1−2t,z=4+tx=2+3t, y=-1-2t, z=4+t?

  1. (2,−1,4)
  2. (3,−2,1)
  3. (3,2,−1)
  4. (1,1,1)
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Resposta: (3,−2,1)

Os coeficientes do parâmetro t são as componentes do vetor diretor.

Posições relativas e ângulos

Questão 1

Médio

As retas y=4x+1y=4x+1 e y=4x−7y=4x-7 são:

  1. Coincidentes
  2. Paralelas
  3. Perpendiculares
  4. Secantes não perpendiculares
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Resposta: Paralelas

Possuem o mesmo coeficiente angular e interceptos diferentes.

Questão 2

Médio

As retas de vetores diretores u=(1,2,−1)u=(1{,}2,-1) e v=(−2,−4,2)v=(-2,-4{,}2) são:

  1. Paralelas
  2. Perpendiculares
  3. Sempre concorrentes
  4. Necessariamente reversas
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Resposta: Paralelas

v=−2uv=-2u, então os vetores são proporcionais e as retas têm direções paralelas.

Questão 3

Difícil

Qual é o ângulo agudo entre vetores u=(1,0,1)u=(1{,}0,1) e v=(1,0,−1)v=(1{,}0,-1)?

  1. 0∘0^{\circ}
  2. 45∘45^{\circ}
  3. 90∘90^{\circ}
  4. 180∘180^{\circ}
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Resposta: 90∘90^{\circ}

u⋅v=1−1=0u\cdot v=1-1=0. Vetores não nulos com produto escalar zero são ortogonais.

Circunferência e cônicas

Questão 1

Fácil

Qual é o raio de (x+1)2+(y−4)2=25(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=25?

  1. 4
  2. 5
  3. 25
  4. 252\frac{\sqrt{25}}{2}
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Resposta: 5

r2=25r^{2}=25, logo r=5r=5.

Questão 2

Difícil

O ponto (3,4) pertence à circunferência x2+y2=25x^{2}+y^{2}=25?

  1. Sim
  2. Não, está dentro
  3. Não, está fora
  4. Não é possível saber
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Resposta: Sim

32+42=9+16=253^{2}+4^{2}=9+16=25.

Questão 3

Fácil

Qual é o centro de x2+y2+8x−6y+9=0x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0?

  1. (4,−3)
  2. (−4,3)
  3. (−8,6)
  4. (8,−6)
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Resposta: (−4,3)

Completando quadrados: (x+4)2+(y−3)2=16(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=16, portanto o centro é (−4,3).

Questão 4

Médio

A reta tangente à circunferência x2+y2=13nox^{2}+y^{2}=13 no ponto (2,3) tem qual equação?

  1. 2x+3y=132x+3y=13
  2. 3x+2y=133x+2y=13
  3. 2x−3y=132x-3y=13
  4. x+y=5x+y=5
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Resposta: 2x+3y=132x+3y=13

O raio (2,3) é normal à tangente. Assim, 2(x−2)+3(y−3)=02(x-2)+3(y-3)=0, ou 2x+3y=132x+3y=13.

Produto escalar e vetorial

Questão 1

Médio

Os vetores u=(2,−1,3)u=(2,-1{,}3) e v=(1,5,1)v=(1{,}5,1) são ortogonais?

  1. Sim, pois u⋅v=0u\cdot v=0
  2. Sim, pois têm o mesmo módulo
  3. Não, pois u⋅v=2u\cdot v=2
  4. Não, pois são paralelos
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Resposta: Sim, pois u⋅v=0u\cdot v=0

u⋅v=2⋅1+(−1)⋅5+3⋅1=2−5+3=0u\cdot v=2\cdot 1+(-1)\cdot 5+3\cdot 1=2-5+3=0, logo são ortogonais.

Questão 2

Difícil

Qual é a área do paralelogramo gerado por u=(3,0,0)u=(3{,}0,0) e v=(0,4,0)v=(0{,}4,0)?

  1. 6
  2. 7
  3. 12
  4. 24
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Resposta: 12

Os vetores são perpendiculares; a área é ∣u×v∣=∣u∣∣v∣=3⋅4=12\left|u\times v\right|=\left|u\right|\left|v\right|=3\cdot 4=12.

Equações do plano

Questão 1

Fácil

Qual é um vetor normal ao plano 3x−2y+5z=93x-2y+5z=9?

  1. (3,−2,5)
  2. (3,2,5)
  3. (9,0,0)
  4. (1,1,1)
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Resposta: (3,−2,5)

Os coeficientes de x, y e z formam um vetor normal ao plano.

Questão 2

Médio

Qual plano passa por P(1,2,−1)P(1{,}2,-1) e tem normal n=(2,−1,3)n=(2,-1{,}3)?

  1. 2x−y+3z+3=02x-y+3z+3=0
  2. 2x−y+3z−3=02x-y+3z-3=0
  3. x+2y−z=0x+2y-z=0
  4. 2x+y+3z=12x+y+3z=1
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Resposta: 2x−y+3z+3=02x-y+3z+3=0

Use 2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=02(x-1)-(y-2)+3(z+1)=0, que simplifica para 2x−y+3z+3=02x-y+3z+3=0.

Distâncias

Questão 1

Fácil

Qual é a distância de P(2,−1)P(2,-1) à reta x=5x=5?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 6
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Resposta: 3

A menor distância é horizontal: ∣2−5∣=3\left|2-5\right|=3.

Questão 2

Médio

Qual é a distância da origem ao plano 2x−2y+z−9=02x-2y+z-9=0?

  1. 1
  2. 3
  3. 6
  4. 9
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Resposta: 3

d=∣−9∣/√(22+(−2)2+12)=93=3d=\left|-9\right|/√(2^{2}+(-2)^{2}+1^{2})=\frac{9}{3}=3.

Parábola, elipse e hipérbole

Questão 1

Médio

Qual é o foco da parábola x2=20yx^{2}=20y?

  1. (0,4)
  2. (0,5)
  3. (5,0)
  4. (0,20)
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Resposta: (0,5)

Compare x2=4py:4p=20x^{2}=4py: 4p=20, então p=5p=5 e o foco é (0,5).

Questão 2

Difícil

Quais são os focos da elipse x236+y220=1\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1?

  1. (±2,0)
  2. (±4,0)
  3. (±56\sqrt{56},0)
  4. (0,±4)
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Resposta: (±4,0)

a2=36a^{2}=36 e b2=20b^{2}=20. Logo, c2=a2−b2=16,c=4c^{2}=a^{2}-b^{2}=16, c=4, com focos no eixo x.

Questão 3

Difícil

Quais são as assíntotas de x29−y216=1\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1?

  1. y=±(34)xy=\pm (\frac{3}{4})x
  2. y=±(43)xy=\pm (\frac{4}{3})x
  3. y=±(712)xy=\pm (\frac{7}{12})x
  4. x=±3x=\pm 3
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Resposta: y=±(43)xy=\pm (\frac{4}{3})x

Para x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, as assíntotas são y=±(ba)xy=\pm (\frac{b}{a})x. Aqui a=3a=3 e b=4b=4.

Cônicas: foco e diretriz

Questão 1

Fácil

Uma cônica possui excentricidade e=1e=1. Como ela é classificada?

  1. Circunferência
  2. Elipse
  3. Parábola
  4. Hipérbole
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Resposta: Parábola

Na definição foco-diretriz, e=1e=1 caracteriza a parábola.

Questão 2

Médio

Quais são as diretrizes da elipse x216+y27=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1?

  1. x=±43x=\pm \frac{4}{3}
  2. x=±163x=\pm \frac{16}{3}
  3. y=±163y=\pm \frac{16}{3}
  4. x=±3x=\pm 3
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Resposta: x=±163x=\pm \frac{16}{3}

a=4,c=16−7=3a=4, c=\sqrt{16-7}=3 e e=34e=\frac{3}{4}. Assim, x=±ae=±163x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{16}{3}.

Questão 3

Difícil

Qual é o comprimento do latus rectum da elipse x225+y29=1\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1?

  1. 95\frac{9}{5}
  2. 185\frac{18}{5}
  3. 6
  4. 10
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Resposta: 185\frac{18}{5}

Para uma elipse horizontal, L=2b2a=2⋅95=185L=\frac{2b^{2}}{a}=2\cdot \frac{9}{5}=\frac{18}{5}.

Tangentes e polares

Questão 1

Fácil

Qual é a tangente à elipse x29+y24=1no\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 no ponto (3,0)?

  1. x=3x=3
  2. y=3y=3
  3. 3x+2y=13x+2y=1
  4. x+y=3x+y=3
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Resposta: x=3x=3

A fórmula xx09+yy04=1\frac{xx_{0}}{9}+\frac{yy_{0}}{4}=1 fornece 3x9\frac{x}{9}=1, isto é, x=3x=3.

Questão 2

Médio

A reta y=mx+5y=mx+5 é tangente à parábola y2y^{2}=20x. Qual é m?

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 1
  3. 4
  4. 5
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Resposta: 1

Substituindo x=y−5mx=\frac{y-5}{m} em y2y^{2}=20x, a condição Δ=0 resulta em 400−400m=0, logo m=1m=1.

Questão 3

Difícil

Para F(x,y)=x2+4y2−16F(x,y)=x^{2}+4y^{2}-16, qual vetor é normal à elipse no ponto (0,2)?

  1. (0,2)
  2. (0,8)
  3. (2,0)
  4. (1,4)
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Resposta: (0,8)

∇F=(2x,8y)F=(2x,8y). Em (0,2), ∇F=(0,16)F=(0{,}16), paralelo a (0,8), que é normal.

Classificação e transformações

Questão 1

Fácil

Pelo sinal de B2B^{2}−4AC, a equação 2x2+2y2−8=02x^{2}+2y^{2}-8=0 é do tipo:

  1. Elíptico
  2. Parabólico
  3. Hiperbólico
  4. Linear
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Resposta: Elíptico

A=2,B=0A=2, B=0 e C=2:B2−4AC=−16<0C=2: B^{2}-4AC=-16<0, indicando tipo elíptico.

Questão 2

Médio

Qual é o centro de x2+4y2−6x+8y−3=0x^{2}+4y^{2}-6x+8y-3=0?

  1. (−3,−1)
  2. (3,−1)
  3. (3,1)
  4. (−3,1)
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Resposta: (3,−1)

Completando quadrados, x2x^{2}−6x centra em x=3x=3 e y2y^{2}+2y centra em y=−1y=-1.

Questão 3

Difícil

A equação 5x25x^{2}+6xy+5y2=8xy+5y^{2}=8 representa qual tipo de cônica real?

  1. Elipse rotacionada
  2. Parábola
  3. Hipérbole
  4. Duas retas
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Resposta: Elipse rotacionada

B2B^{2}−4AC=36−100<0AC=36-100<0 e a forma quadrática é positiva, portanto é uma elipse com eixos rotacionados.

Parametrizações e interseções

Questão 1

Fácil

Na elipse x=5cost,y=2sentx=5cos t, y=2sen t, qual ponto corresponde a t=π2t=\frac{\pi }{2}?

  1. (5,0)
  2. (0,2)
  3. (−5,0)
  4. (0,−2)
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Resposta: (0,2)

cos⁡(π2)=0\cos(\frac{\pi }{2})=0 e sen⁡(π2)=1\operatorname{sen}(\frac{\pi }{2})=1, então (x,y)=(0,2)(x,y)=(0{,}2).

Questão 2

Médio

Quantos pontos comuns têm a reta y=4y=4 e a circunferência x2+y2=16x^{2}+y^{2}=16?

  1. Nenhum
  2. Um
  3. Dois
  4. Infinitos
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Resposta: Um

Substituindo y=4y=4, obtemos x2+16=16x^{2}+16=16, portanto x=0x=0 é raiz dupla: há tangência em (0,4).

Questão 3

Difícil

A reta y=ky=k intersecta a elipse x2x^{2}/25+y2+y^{2}/9=1 em dois pontos distintos quando:

  1. ∣k∣<3\left|k\right|<3
  2. ∣k∣=3\left|k\right|=3
  3. ∣k∣>3\left|k\right|>3
  4. k=0k=0 apenas
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Resposta: ∣k∣<3\left|k\right|<3

Após substituir y=ky=k, existe x não nulo real quando 1−k29>01-\frac{k^{2}}{9}>0, isto é, ∣k∣<3\left|k\right|<3.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.