Apostila completa de Geometria Espacial

01

CAPÍTULO 1

Pontos, retas e planos no espaço

A geometria de posição descreve como pontos, retas e planos se relacionam antes de qualquer cálculo de comprimento, área ou volume.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

A,B,C\text{ não colineares}\Rightarrow\text{um único plano }\alpha

Determinação de um plano por três pontos.

r\parallel s,\quad r\cap s=\varnothing

Retas paralelas distintas são coplanares e não se intersectam.

Determinação e incidência

Ponto, reta e plano são conceitos primitivos. Dois pontos distintos determinam uma reta; três pontos não colineares determinam um plano.

Também determinam um plano uma reta e um ponto exterior a ela, duas retas concorrentes ou duas retas paralelas distintas. Reconhecer esses dados evita afirmar um plano com informação insuficiente.

Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, toda a reta pertence ao plano.
Dois planos distintos que têm um ponto comum intersectam-se em uma reta.
Uma reta pode estar contida, ser secante ou ser paralela a um plano.

A,B,C\text{ não colineares}\Rightarrow\text{um único plano }\alpha

Determinação de um plano por três pontos.

Paralelismo, concorrência e reversas

Duas retas do espaço podem ser concorrentes, paralelas, coincidentes ou reversas. Retas reversas não são coplanares: não se encontram e suas direções não são paralelas.

Planos distintos podem ser paralelos ou secantes. Uma reta é paralela a um plano quando não possui ponto comum com ele; uma direção paralela ao plano não basta se a reta estiver contida no próprio plano.

r\parallel s,\quad r\cap s=\varnothing

Retas paralelas distintas são coplanares e não se intersectam.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Incidência

Relação de pertencimento entre ponto, reta e plano.

Retas reversas

Retas não coplanares que não são paralelas e não se intersectam.

Planos secantes

Planos distintos cuja interseção é uma reta.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Postulado de determinação

Por três pontos não colineares passa um e somente um plano.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Retas em um cubo

No cubo ABCD-EFGH, com E sobre A, classifique as arestas AB e CG.

AB pertence ao plano da base ABCD.
CG é uma aresta vertical e não encontra AB.
As direções não são paralelas e não há plano contendo simultaneamente as duas retas.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Plano determinado

Quantos planos passam por uma reta r e um ponto P que não pertence a r?

Escolha dois pontos distintos A e B em r.
Os pontos A, B e P não são colineares.
Três pontos não colineares determinam um único plano.

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02

CAPÍTULO 2

Perpendicularidade, projeções e diedros

A perpendicularidade define alturas e menores distâncias. Projeções e diedros permitem medir inclinações entre objetos espaciais.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

r\perp\alpha\Rightarrow r\perp s\text{ para toda }s\subset\alpha\text{ que passa pelo pé}

Perpendicularidade entre reta e plano.

h=L\sin\theta

Componente perpendicular de um segmento L inclinado de θ em relação ao plano.

p=L\cos\theta

Comprimento da projeção ortogonal sobre o plano.

Reta perpendicular a plano e projeção

Uma reta é perpendicular a um plano quando é perpendicular a duas retas concorrentes desse plano no ponto de interseção. Ela também será perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto.

A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular. A projeção de um segmento pode ser outro segmento, um ponto ou uma figura reduzida conforme sua posição.

r\perp\alpha\Rightarrow r\perp s\text{ para toda }s\subset\alpha\text{ que passa pelo pé}

Perpendicularidade entre reta e plano.

Ângulos de reta-plano e diedros

O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo agudo entre a reta e sua projeção ortogonal sobre o plano. Se a reta é perpendicular ao plano, o ângulo mede $90^{\circ}$ .

Duas semirregiões planas com a mesma aresta formam um diedro. Sua medida é obtida por uma seção normal: um plano perpendicular à aresta corta as faces em duas semirretas.

h=L\sin\theta

Componente perpendicular de um segmento L inclinado de θ em relação ao plano.

p=L\cos\theta

Comprimento da projeção ortogonal sobre o plano.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Projeção ortogonal

Imagem obtida ao projetar pontos ao longo de retas perpendiculares a um plano.

Diedro

Figura formada por dois semiplanos de mesma origem, chamada aresta do diedro.

Seção normal

Corte perpendicular à aresta de um diedro usado para medir seu ângulo.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Teorema das três perpendiculares

Se uma reta de um plano é perpendicular à projeção de uma oblíqua sobre esse plano, então ela é perpendicular à própria oblíqua.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Altura de um cabo

Um cabo de 10 m forma $30^{\circ}$ com o chão. Qual é a altura atingida por sua extremidade?

A altura é a componente perpendicular ao plano do chão.
Use $h=10\cdot sen30^{\circ}$ .
Como sen $30^{\circ}$ = $\frac{1}{2}$ , calcule o produto.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Projeção de uma escada

Uma escada de 13 m encosta em uma parede e atinge 12 m de altura. Qual é sua projeção no chão?

Escada, altura e projeção formam um triângulo retângulo.
Use $p^{2}+12^{2}=13^{2}$ .
Calcule $p^{2}=25$ .

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03

CAPÍTULO 3

Poliedros convexos e relação de Euler

Poliedros são limitados por polígonos. Contar faces, arestas e vértices revela regularidades estruturais que independem das medidas.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\sum n_F=2A

Contagem de lados das faces e arestas.

V-A+F=2

Relação de Euler para poliedros convexos.

pF=2A

Faces de p lados.

Elementos, convexidade e contagens

As faces são polígonos, as arestas são encontros de duas faces e os vértices reúnem arestas. Um poliedro convexo fica inteiramente no mesmo semiespaço determinado pelo plano de cada face.

Ao somar os lados de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes. Assim, a soma do número de lados das faces é 2A.

\sum n_F=2A

Contagem de lados das faces e arestas.

V-A+F=2

Relação de Euler para poliedros convexos.

Poliedros de Platão e regulares

Um poliedro regular possui faces poligonais regulares congruentes e o mesmo número de faces reunidas em cada vértice. Existem apenas cinco tipos convexos: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

A relação de Euler, combinada com as contagens $2A=pF$ e $2A=qV$ , restringe os pares possíveis de p lados por face e q faces por vértice.

pF=2A

Faces de p lados.

qV=2A

q arestas ou faces reunidas em cada vértice regular.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Poliedro convexo

Poliedro que não possui reentrâncias e satisfaz a condição de semiespaço para cada face.

Face

Polígono que compõe a superfície de um poliedro.

Poliedro regular

Poliedro convexo com faces regulares congruentes e arranjo idêntico em todos os vértices.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Relação de Euler

Para todo poliedro convexo, $V-A+F=2$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Faces pela relação de Euler

Um poliedro convexo possui 14 vértices e 21 arestas. Quantas faces ele tem?

Substitua $V=14$ e $A=21$ em V−A+F=2.
Escreva $14-21+F=2$ .
Isole F.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Prisma de base n-gonal

Determine V, A e F de um prisma cuja base tem n lados.

Há duas bases com n vértices cada: $V=2n$ .
Há n arestas em cada base e n laterais: $A=3n$ .
Há duas bases e n faces laterais: $F=n+2$ .

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04

CAPÍTULO 4

Prismas, cubos e paralelepípedos

Prismas possuem duas bases poligonais congruentes e paralelas. Sua área e volume dependem da base, do comprimento das arestas laterais e da altura perpendicular.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

A_L=P_bh

Área lateral de um prisma reto.

A_T=2A_b+A_L

Área total do prisma.

V=A_bh

Volume de um prisma.

Elementos, áreas e planificação

Em um prisma reto, as faces laterais são retângulos e a aresta lateral coincide com a altura. A área lateral é o perímetro da base multiplicado pela altura.

A área total soma as duas bases à superfície lateral. Uma planificação ajuda a visualizar quais faces são contadas e reduz erros de omissão.

A_L=P_bh

Área lateral de um prisma reto.

A_T=2A_b+A_L

Área total do prisma.

Volume, diagonais e Cavalieri

O volume de qualquer prisma é a área da base multiplicada pela altura. O Princípio de Cavalieri justifica que prismas retos e oblíquos com bases equivalentes e mesma altura têm o mesmo volume.

No paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, a diagonal espacial é obtida por duas aplicações do Teorema de Pitágoras.

V=A_bh

Volume de um prisma.

d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Diagonal do paralelepípedo retângulo.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Prisma

Poliedro com duas bases congruentes em planos paralelos e faces laterais paralelogrâmicas.

Prisma reto

Prisma cujas arestas laterais são perpendiculares às bases.

Paralelepípedo

Prisma cujas bases são paralelogramos.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Princípio de Cavalieri

Sólidos de mesma altura cujas seções paralelas às bases têm áreas iguais possuem volumes iguais.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Embalagem prismática

Um prisma reto tem base hexagonal de área 54 $cm^{2}$ , perímetro 30 cm e altura 12 cm. Determine volume e área total.

Calcule $V=54\cdot 12$ .
Calcule A_ $L=30\cdot 12$ .
Some duas bases: A_ $T=360+2\cdot 54$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Diagonal do bloco

Uma caixa retangular mede 6 cm, 8 cm e 24 cm. Qual é sua diagonal espacial?

Use $d^{2}=6^{2}+8^{2}+24^{2}$ .
Some $36+64+576=676$ .
Extraia a raiz quadrada.

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05

CAPÍTULO 5

Pirâmides e bases poligonais

Uma pirâmide une um polígono-base a um vértice exterior ao plano da base. Alterar o número de lados da base muda faces, arestas e vértices, mas preserva as ideias de altura e volume.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

F=n+1,\quad A=2n,\quad V=n+1

Contagens de faces, arestas e vértices de uma pirâmide n-gonal.

g^2=h^2+a_b^2

Apótema lateral g, altura h e apótema da base aᵦ em pirâmide regular.

A_L=\frac{P_bg}{2}

Área lateral de pirâmide regular.

Elementos e contagens pela base

Uma pirâmide de base n-gonal possui n faces laterais triangulares, n+1 faces no total, 2n arestas e n+1 vértices.

Em uma pirâmide regular, a base é regular e a projeção do vértice coincide com o centro da base. As arestas laterais são congruentes e cada face lateral é um triângulo isósceles.

F=n+1,\quad A=2n,\quad V=n+1

Contagens de faces, arestas e vértices de uma pirâmide n-gonal.

g^2=h^2+a_b^2

Apótema lateral g, altura h e apótema da base aᵦ em pirâmide regular.

Áreas e volume

A área lateral é a soma das áreas dos triângulos laterais. Na pirâmide regular, todos têm a mesma altura g, o que produz A_ $L=P_{b}\frac{g}{2}$ .

Uma pirâmide tem um terço do volume de um prisma com base equivalente e mesma altura. A altura usada é sempre perpendicular ao plano da base.

A_L=\frac{P_bg}{2}

Área lateral de pirâmide regular.

V=\frac{A_bh}{3}

Volume de qualquer pirâmide.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Vértice da pirâmide

Ponto exterior ao plano da base comum a todas as faces laterais.

Apótema da pirâmide

Altura de uma face lateral de uma pirâmide regular.

Pirâmide regular

Pirâmide reta cuja base é um polígono regular.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Volume da pirâmide

Pirâmides de bases equivalentes e mesma altura têm volumes iguais, e esse volume é $A_{b}$ $\frac{h}{3}$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Pirâmide hexagonal

Uma pirâmide regular tem base hexagonal de lado 4 cm, apótema da base 2 $\sqrt{3}$ cm e altura 8 cm. Determine o volume.

O perímetro da base é 24 cm.
A área da base é $P_{b}$ $a_{b}$ $/2=24\cdot 2\frac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3} cm^{2}$ .
Use $V=A_{b}\frac{h}{3}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Contagem ajustável

Uma pirâmide tem base com 11 lados. Quantas faces, arestas e vértices possui?

Use $n=11$ .
Faces: n+1.
Arestas: 2n; vértices: n+1.

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06

CAPÍTULO 6

Cilindros e cones

Cilindros e cones são corpos redondos gerados a partir de circunferências. Suas planificações relacionam medidas curvas a retângulos e setores circulares.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

A_L=2\pi rh,\quad A_T=2\pi r(r+h)

Áreas lateral e total do cilindro reto.

V=\pi r^2h

Volume do cilindro.

g^2=r^2+h^2

Relação métrica no cone reto.

Cilindro: áreas, volume e seção meridiana

No cilindro circular reto, a superfície lateral planificada é um retângulo de lados 2 $\pi$ r e h. A seção meridiana é um retângulo de lados 2r e h.

O cilindro possui o mesmo princípio volumétrico do prisma: área da base vezes altura.

A_L=2\pi rh,\quad A_T=2\pi r(r+h)

Áreas lateral e total do cilindro reto.

V=\pi r^2h

Volume do cilindro.

Cone: geratriz, áreas e volume

No cone circular reto, a geratriz g, o raio r e a altura h formam um triângulo retângulo. A lateral planificada é um setor circular de raio g.

O cone tem um terço do volume do cilindro de mesma base e altura. Sua área total soma o círculo da base à área lateral $\pi$ rg.

g^2=r^2+h^2

Relação métrica no cone reto.

A_L=\pi rg,\quad V=\frac{\pi r^2h}{3}

Área lateral e volume do cone.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Geratriz

Segmento da superfície lateral que liga o vértice à circunferência da base do cone.

Cilindro equilátero

Cilindro reto cuja altura é igual ao diâmetro da base.

Cone equilátero

Cone reto cuja seção meridiana é um triângulo equilátero, portanto $g=2r$ .

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Comparação de volumes

Um cone possui um terço do volume de um cilindro com base equivalente e a mesma altura.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Reservatório cilíndrico

Um cilindro de raio interno 2 m e altura 5 m está 80% cheio. Qual é o volume de líquido?

A capacidade é $\pi$ · $2^{2}\cdot 5=20\pi m^{3}$ .
Calcule 80% de 20 $\pi$ .
Multiplique por 0,8.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Cone e geratriz

Um cone reto tem raio 5 cm e altura 12 cm. Determine geratriz, área lateral e volume.

$g=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13\,\mathrm{cm}$ .
A_ $L=\pi \cdot 5\cdot 13$ .
$V=\pi \cdot 5^{2}\cdot \frac{12}{3}$ .

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07

CAPÍTULO 7

Esfera e sólidos esféricos

A esfera reúne pontos do espaço a uma distância limitada do centro; sua superfície é formada pelos pontos exatamente à distância do raio.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

A=4\pi R^2

Área da superfície esférica.

V=\frac{4\pi R^3}{3}

Volume da esfera.

A_{\text{zona}}=2\pi Rh

Área de uma zona esférica de altura h.

Seções, área e volume

Todo plano secante a uma esfera produz um círculo. Se o plano passa pelo centro, a seção é um círculo máximo de raio R.

A área da superfície varia com $R^{2}$ e o volume com $R^{3}$ . Por isso, duplicar o raio quadruplica a área e multiplica o volume por oito.

A=4\pi R^2

Área da superfície esférica.

V=\frac{4\pi R^3}{3}

Volume da esfera.

Fusos, cunhas e zonas esféricas

Dois semicírculos máximos delimitam um fuso na superfície e uma cunha no sólido. Suas medidas são proporcionais ao ângulo central α.

Uma zona esférica resulta do corte da superfície por dois planos paralelos. Sua área depende do raio da esfera e da altura h da zona, não da posição dos planos.

A_{\text{zona}}=2\pi Rh

Área de uma zona esférica de altura h.

A_{\text{fuso}}=\frac{\alpha}{2\pi}\,4\pi R^2

Área do fuso para α em radianos.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Superfície esférica

Conjunto de pontos do espaço cuja distância a um centro é R.

Círculo máximo

Seção da esfera por um plano que contém o centro.

Fuso esférico

Parte da superfície limitada por dois semicírculos máximos.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Relação entre seção e distância ao centro

Se um plano está a distância $d<R$ do centro de uma esfera de raio R, o raio ρ da seção satisfaz ρ²= $R^{2}$ $-d^{2}$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Seção da esfera

Uma esfera de raio 10 cm é cortada por um plano a 6 cm do centro. Qual é o raio da seção?

Centro, centro da seção e um ponto da circunferência formam triângulo retângulo.
Use ρ² $+6^{2}=10^{2}$ .
Calcule ρ²=64.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Escala esférica

O raio de uma esfera cresce 20%. Por qual fator sua área e seu volume são multiplicados?

O fator linear é 1,2.
A área usa o quadrado: $1{,}2^{2}$ .
O volume usa o cubo: $1{,}2^{3}$ .

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08

CAPÍTULO 8

Semelhança espacial e troncos

Cortar uma pirâmide ou um cone por um plano paralelo à base produz sólidos semelhantes e um tronco. Razões lineares controlam áreas e volumes por potências.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\frac{A_2}{A_1}=k^2

Razão entre áreas de figuras ou sólidos semelhantes.

\frac{V_2}{V_1}=k^3

Razão entre volumes de sólidos semelhantes.

V_{\text{tronco de pirâmide}}=\frac{h}{3}(B+\sqrt{Bb}+b)

Bases paralelas de áreas B e b.

Razões de semelhança

Sólidos semelhantes têm comprimentos correspondentes na razão k, áreas na razão $k^{2}$ e volumes na razão $k^{3}$ .

Em uma pirâmide seccionada paralelamente à base, a pequena pirâmide removida é semelhante à original. A razão entre alturas coincide com a razão entre lados correspondentes das bases.

\frac{A_2}{A_1}=k^2

Razão entre áreas de figuras ou sólidos semelhantes.

\frac{V_2}{V_1}=k^3

Razão entre volumes de sólidos semelhantes.

Volumes de troncos

O volume do tronco pode ser obtido subtraindo o sólido menor do maior. Fórmulas diretas usam áreas das bases B e b e a média geométrica $\sqrt{Bb}$ .

No tronco de cone reto, a geratriz, a diferença dos raios e a altura formam um triângulo retângulo, útil para áreas laterais.

V_{\text{tronco de pirâmide}}=\frac{h}{3}(B+\sqrt{Bb}+b)

Bases paralelas de áreas B e b.

V_{\text{tronco de cone}}=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)

Tronco de cone de raios R e r.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Razão de semelhança

Quociente k entre comprimentos correspondentes de figuras ou sólidos semelhantes.

Tronco

Parte de uma pirâmide ou cone entre a base e uma seção paralela a ela.

Bases do tronco

Duas regiões semelhantes e paralelas que limitam o sólido.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Escalonamento dimensional

Sob uma ampliação de fator k, comprimentos são multiplicados por k, áreas por $k^{2}$ e volumes por $k^{3}$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Pirâmide seccionada

Uma pirâmide de 15 cm de altura é cortada a 5 cm do vértice por plano paralelo à base. Que fração do volume original pertence à pequena pirâmide?

A razão linear é $k=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ .
Volumes variam com o cubo da razão.
Calcule ( $\frac{1}{3}$ )³.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Tronco de cone

Calcule o volume de um tronco de cone com $R=5\,\mathrm{cm}, r=2\,\mathrm{cm}$ e $h=6\,\mathrm{cm}$ .

Use $V=\pi h\frac{R^{2}+Rr+r^{2}}{3}$ .
Substitua: $V=\pi \cdot 6\frac{25+10+4}{3}$ .
Simplifique $\frac{6}{3}=2$ .

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09

CAPÍTULO 9

Inscrição, circunscrição e sólidos compostos

Problemas finais combinam sólidos, tangências e decomposições. A chave é identificar os segmentos compartilhados antes de aplicar fórmulas.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

r_{\text{inscrita}}=\frac{a}{2}

Esfera inscrita em cubo de aresta a.

R_{\text{circunscrita}}=\frac{a\sqrt3}{2}

Esfera circunscrita ao cubo.

V_{\text{total}}=\sum V_{\text{partes}}-\sum V_{\text{cavidades}}

Princípio de composição de volumes.

Sólidos inscritos e circunscritos

Uma esfera inscrita em um poliedro é tangente às faces; seu raio costuma corresponder à distância do centro às faces. Uma esfera circunscrita passa pelos vértices; seu raio liga o centro a qualquer vértice.

No cubo de aresta a, a esfera inscrita tem raio $\frac{a}{2}$ , enquanto a esfera circunscrita tem raio igual à metade da diagonal espacial a $\sqrt{3}$ .

r_{\text{inscrita}}=\frac{a}{2}

Esfera inscrita em cubo de aresta a.

R_{\text{circunscrita}}=\frac{a\sqrt3}{2}

Esfera circunscrita ao cubo.

Decomposição e unidades

Objetos reais podem ser decompostos em partes conhecidas. Uniões pedem soma de volumes sem sobreposição; cavidades pedem subtração; regiões sobrepostas devem ser contadas uma única vez.

Antes de calcular, converta todas as medidas para a mesma unidade. Área usa unidades quadradas, volume usa unidades cúbicas e capacidade pode ser convertida por 1 $L=1 dm^{3}$ .

Faça um corte que revele triângulos retângulos ocultos.
Marque tangências: o raio é perpendicular ao plano ou reta tangente.
Evite somar regiões sobrepostas duas vezes.
Confira a potência da unidade no resultado.

V_{\text{total}}=\sum V_{\text{partes}}-\sum V_{\text{cavidades}}

Princípio de composição de volumes.

1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{L}

Conversão comum entre volume e capacidade.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Sólido inscrito

Sólido colocado dentro de outro com pontos ou superfícies de tangência definidos.

Sólido circunscrito

Sólido que contém outro e o tangencia segundo a configuração do problema.

Sólido composto

Objeto cuja região pode ser representada pela união ou diferença de sólidos conhecidos.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Raio e tangência

O raio traçado ao ponto de tangência de uma esfera com um plano é perpendicular a esse plano.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Esfera dentro do cubo

Um cubo de aresta 10 cm contém uma esfera inscrita. Determine a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo.

A esfera tem raio 5 cm.
V_esfera $=4\pi \cdot \frac{5^{3}}{3}=\frac{500\pi }{3}$ .
V_cubo $=10^{3}=1000$ ; forme o quociente.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Peça com cavidade

Um bloco 12×10×8 cm é atravessado por um furo cilíndrico de raio 2 cm e comprimento 12 cm. Qual volume resta?

O bloco tem volume $12\cdot 10\cdot 8=960\,\mathrm{cm}^{3}$ .
O furo tem volume $\pi$ · $2^{2}\cdot 12=48\pi cm^{3}$ .
Subtraia a cavidade do bloco.

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10

CAPÍTULO 10

Triedros, ângulos poliédricos e sólidos regulares

Triedros descrevem o encontro de três faces em um vértice. Suas condições angulares ajudam a compreender por que existem somente cinco poliedros regulares convexos.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b

Desigualdades entre as faces de um triedro.

a+b+c<360^{\circ}

Condição angular em um triedro convexo.

h_{\mathrm{tet}}=a\sqrt{\frac23},\qquad V_{\mathrm{tet}}=\frac{a^3\sqrt2}{12}

Altura e volume do tetraedro regular.

Faces e diedros de um triedro

Três semirretas não coplanares de mesma origem determinam um triedro. Os ângulos planos entre pares de arestas são as faces do triedro; os ângulos entre os planos correspondentes são seus diedros.

Cada face de um triedro é menor que a soma das outras duas, e a soma das três faces é menor que $360^{\circ}$ . Essas condições são análogas à desigualdade triangular e impedem que o ângulo poliédrico se achate.

a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b

Desigualdades entre as faces de um triedro.

a+b+c<360^{\circ}

Condição angular em um triedro convexo.

Métricas dos poliedros de Platão

Nos poliedros regulares, simetria faz coincidir os centros das esferas inscrita e circunscrita. Cortes que passam pelo centro revelam triângulos retângulos e permitem relacionar aresta, raio inscrito e raio circunscrito.

No tetraedro regular de aresta a, a altura é a√( $\frac{2}{3}$ ). No octaedro regular, unir o centro a quatro vértices equatoriais forma duas pirâmides quadrangulares congruentes.

h_{\mathrm{tet}}=a\sqrt{\frac23},\qquad V_{\mathrm{tet}}=\frac{a^3\sqrt2}{12}

Altura e volume do tetraedro regular.

V_{\mathrm{oct}}=\frac{a^3\sqrt2}{3}

Volume do octaedro regular.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Triedro

Ângulo poliédrico formado por três semiplanos determinados por três arestas de mesma origem.

Face do triedro

Ângulo plano formado por duas arestas consecutivas.

Ângulo poliédrico regular

Ângulo poliédrico com faces congruentes e diedros congruentes.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Restrição dos poliedros regulares

Em um vértice convexo, a soma dos ângulos das faces incidentes é menor que $360^{\circ}$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Volume do tetraedro

Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta 6 cm.

Use $V=a\frac{\sqrt[3]{2}}{12}$ .
Substitua $a=6: V=216\frac{\sqrt{2}}{12}$ .
Simplifique a divisão.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Verificação de triedro

Ângulos planos de $80^{\circ}$ , $110^{\circ}$ e $150^{\circ}$ podem ser faces de um triedro convexo?

Cada medida é menor que a soma das outras duas.
Some as faces: $80+110+150=340^{\circ}$ .
Como $340^{\circ}$ < $360^{\circ}$ , as condições necessárias são atendidas.

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11

CAPÍTULO 11

Seções planas e planificações

Cortar um sólido por um plano revela polígonos ocultos e transforma relações espaciais em problemas de geometria plana.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\frac{\ell_s}{\ell_b}=\frac{d_s}{h}=k

Razão entre uma seção paralela e a base de uma pirâmide.

\frac{A_s}{A_b}=k^2

Razão entre as áreas da seção e da base.

d_{\text{superfície}}=\sqrt{u^2+v^2}

Caminho mínimo após abrir duas ou mais faces em um retângulo equivalente.

Seções em prismas e pirâmides

Um plano paralelo à base de um prisma produz uma seção congruente à base. Em uma pirâmide, produz uma seção semelhante à base, com razão linear igual à razão entre as distâncias ao vértice.

Planos oblíquos podem cortar arestas de famílias diferentes. Para construir a seção, localize dois pontos em uma mesma face, una-os por um segmento e prossiga para a face adjacente até fechar o polígono.

\frac{\ell_s}{\ell_b}=\frac{d_s}{h}=k

Razão entre uma seção paralela e a base de uma pirâmide.

\frac{A_s}{A_b}=k^2

Razão entre as áreas da seção e da base.

Planificações e caminhos mínimos

Uma planificação abre a superfície do sólido sem deformar as faces. A distância mínima sobre faces consecutivas torna-se um segmento reto na planificação adequada.

Um mesmo sólido pode possuir várias planificações. Deve-se escolher aquela que mantém lado a lado as faces percorridas e evita que o segmento cruze regiões que não pertencem ao caminho permitido.

d_{\text{superfície}}=\sqrt{u^2+v^2}

Caminho mínimo após abrir duas ou mais faces em um retângulo equivalente.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Seção plana

Figura obtida pela interseção de um sólido com um plano.

Traço do plano

Segmento ou reta de interseção do plano secante com uma face.

Planificação

Conjunto de faces abertas no plano, preservando suas medidas e adjacências selecionadas.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Seções paralelas em pirâmides

Toda seção de uma pirâmide por plano paralelo à base é semelhante à base e determina uma pirâmide menor semelhante à original.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Área de uma seção

Uma pirâmide de altura 12 cm é cortada, a 4 cm do vértice, por plano paralelo à base de área 108 $cm^{2}$ . Qual é a área da seção?

A razão linear é $k=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ .
A razão entre áreas é $k^{2}=\frac{1}{9}$ .
Multiplique 108 por $\frac{1}{9}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Formiga sobre a caixa

Em um bloco retangular de dimensões 6 cm, 8 cm e 3 cm, uma formiga vai de um vértice a outro passando por duas faces que, abertas, formam um retângulo 9×8. Qual é o menor caminho nessa abertura?

A abertura soma os lados 6 e 3, formando dimensão 9.
A outra dimensão mede 8.
A diagonal é $\sqrt{9^{2}+8^{2}}$ .

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12

CAPÍTULO 12

Superfícies regradas e sólidos de revolução

Cilindros, cones e outras superfícies podem ser entendidos pelo movimento de retas ou pela rotação de figuras planas, unificando construção e medida.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

V=A\cdot2\pi d

Volume pelo primeiro teorema de Pappus; d é a distância do centroide ao eixo.

S=L\cdot2\pi d

Área gerada por uma curva de comprimento L.

Geração de superfícies

Uma superfície regrada é percorrida por uma reta móvel chamada geratriz. Se a geratriz permanece paralela a uma direção fixa, surge uma superfície cilíndrica; se passa por um ponto fixo, surge uma superfície cônica.

Ao girar um retângulo em torno de um lado, obtemos um cilindro reto. Girar um triângulo retângulo em torno de um cateto produz um cone reto; girar um semicírculo em torno do diâmetro produz uma esfera.

O eixo de rotação permanece fixo.
A distância ao eixo determina o raio da trajetória circular.
Uma região plana gera um sólido; seu contorno gera a superfície correspondente.

Teoremas de Pappus em aplicações simples

Quando uma região plana gira em torno de uma reta externa que não a atravessa, seu volume é a área da região multiplicada pelo comprimento da trajetória de seu centroide.

De modo análogo, a área da superfície gerada por uma curva é seu comprimento multiplicado pela trajetória do centroide da curva. Esses resultados devem ser usados somente quando o eixo não corta o interior do objeto gerador.

V=A\cdot2\pi d

Volume pelo primeiro teorema de Pappus; d é a distância do centroide ao eixo.

S=L\cdot2\pi d

Área gerada por uma curva de comprimento L.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Geratriz

Reta ou curva móvel que produz uma superfície.

Superfície de revolução

Superfície gerada pela rotação de uma curva em torno de um eixo fixo.

Centroide

Ponto médio geométrico ponderado de uma linha ou região homogênea.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Teorema de Pappus para volumes

O volume gerado por uma região plana ao girar em torno de eixo externo é o produto da área pela distância percorrida por seu centroide.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Toro por rotação

Um círculo de raio 2 cm gira em torno de uma reta coplanar situada a 5 cm de seu centro. Determine o volume do toro.

A área geradora é $\pi$ · $2^{2}=4\pi$ .
O centro percorre uma circunferência de comprimento 2 $\pi$ · $5=10\pi$ .
Multiplique pela regra de Pappus.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Sólido gerado por triângulo

Um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm gira em torno do cateto de 4 cm. Identifique o sólido e calcule o volume.

A rotação produz um cone de altura 4 e raio 3.
Use $V=\pi r^{2}\frac{h}{3}$ .
Calcule $\pi$ ·9· $\frac{4}{3}$ .

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13

CAPÍTULO 13

Calotas, segmentos, setores e tangência esférica

Cortes de uma esfera geram calotas, segmentos e setores cujas medidas dependem de alturas, raios das seções e posições relativas.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

A_{\text{calota}}=2\pi Rh

Área curva de uma calota de altura h.

V_{\text{calota}}=\frac{\pi h^2}{3}(3R-h)

Volume do segmento esférico de uma base.

\rho^2=2Rh-h^2

Raio ρ da base circular da calota.

Calota e segmento esférico

Uma calota é a parte da esfera separada por um plano. Sua altura h é medida perpendicularmente do plano secante ao extremo da esfera.

O segmento esférico de uma base corresponde ao sólido da calota. Seu volume pode ser escrito apenas em função de R e h; a área curva da calota coincide com a área de uma zona de altura h.

A_{\text{calota}}=2\pi Rh

Área curva de uma calota de altura h.

V_{\text{calota}}=\frac{\pi h^2}{3}(3R-h)

Volume do segmento esférico de uma base.

\rho^2=2Rh-h^2

Raio ρ da base circular da calota.

Plano tangente e esferas tangentes

O plano tangente a uma esfera em T é perpendicular ao raio OT. Assim, qualquer reta desse plano que passe por T é perpendicular a OT.

Duas esferas são tangentes externamente quando a distância entre seus centros é a soma dos raios e internamente quando é o módulo da diferença. Em ambos os casos, o ponto de tangência pertence à reta dos centros.

d(O_1,O_2)=R_1+R_2

Tangência externa entre esferas.

d(O_1,O_2)=|R_1-R_2|

Tangência interna entre esferas.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Calota esférica

Parte da superfície esférica situada de um lado de um plano secante.

Segmento esférico

Parte sólida da esfera limitada por uma calota e seu círculo-base.

Plano tangente

Plano que possui exatamente um ponto em comum com a superfície esférica.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Plano tangente à esfera

O plano tangente a uma esfera é perpendicular ao raio conduzido ao ponto de tangência.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Volume de uma calota

Uma esfera de raio 5 cm possui uma calota de altura 2 cm. Calcule a área curva e o volume da calota.

$A=2\pi \cdot 5\cdot 2=20\pi$ .
$V=\pi \cdot 2^{2}\frac{3\cdot 5-2}{3}$ .
Simplifique 4 $\pi$ · $\frac{13}{3}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Esferas tangentes

Duas esferas de raios 7 cm e 3 cm têm centros separados por 10 cm. Qual é sua posição relativa?

Some os raios: $7+3=10$ .
Compare com a distância entre centros.
A igualdade caracteriza tangência externa.

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Determinação e incidência

Paralelismo, concorrência e reversas

Retas em um cubo

Plano determinado

Reta perpendicular a plano e projeção

Ângulos de reta-plano e diedros

Altura de um cabo

Projeção de uma escada

Elementos, convexidade e contagens

Poliedros de Platão e regulares

Faces pela relação de Euler

Prisma de base n-gonal

Elementos, áreas e planificação

Volume, diagonais e Cavalieri

Embalagem prismática

Diagonal do bloco

Elementos e contagens pela base

Áreas e volume

Pirâmide hexagonal

Contagem ajustável

Cilindro: áreas, volume e seção meridiana

Cone: geratriz, áreas e volume

Reservatório cilíndrico

Cone e geratriz

Seções, área e volume

Fusos, cunhas e zonas esféricas

Seção da esfera

Escala esférica

Razões de semelhança

Volumes de troncos

Pirâmide seccionada

Tronco de cone

Sólidos inscritos e circunscritos

Decomposição e unidades

Esfera dentro do cubo

Peça com cavidade

Faces e diedros de um triedro

Métricas dos poliedros de Platão

Volume do tetraedro

Verificação de triedro

Seções em prismas e pirâmides

Planificações e caminhos mínimos

Área de uma seção

Formiga sobre a caixa

Geração de superfícies

Teoremas de Pappus em aplicações simples

Toro por rotação

Sólido gerado por triângulo

Calota e segmento esférico

Plano tangente e esferas tangentes

Volume de uma calota

Esferas tangentes

O que observar ao estudar

Uma situação para resolver

Exercícios de Geometria Espacial