APOSTILA · LOGARITMOS

Conteúdo teórico de Logaritmos

Uma sequência completa de potências e exponenciais às propriedades, funções, equações, inequações e aplicações dos logaritmos.

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log

Como estudar esta apostila

Use o sumário para navegar. Leia as condições de existência antes das propriedades e tente resolver cada exemplo antes de revelar a resposta.

CAPÍTULO 1

Potências e raízes

As potências de expoente real formam a base algébrica necessária para compreender funções exponenciais e logaritmos.

VISUALIZAÇÃO CONCEITUAL

a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

Expoente inteiro negativo, com a ≠ 0.

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Expoente racional; para n par, considera-se a > 0.

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}

Produto de potências de mesma base.

Expoentes inteiros e racionais

Para a real e não nulo, expoentes negativos representam o inverso da potência correspondente. Expoentes fracionários conectam potenciação e radiciação.

Ao trabalhar nos reais, uma raiz de índice par exige radicando não negativo; raízes de índice ímpar admitem qualquer radicando real.

a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

Expoente inteiro negativo, com a ≠ 0.

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Expoente racional; para n par, considera-se a > 0.

Expoentes reais

Para $a > 0$ , a potência $a^{x}$ pode ser definida para todo número real x por aproximações racionais. Essa extensão preserva as leis usuais dos expoentes.

A condição de base positiva evita ambiguidades e garante continuidade quando o expoente varia no conjunto dos reais.

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}

Produto de potências de mesma base.

(a^{x})^{y} = a^{xy}

Potência de uma potência.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Potência

Expressão $a^{x}$ formada por uma base a e um expoente x.

Raiz enésima

Número que, elevado a n, produz o radicando.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Leis dos expoentes

Para $a > 0$ e x, y reais, valem $a^{x}\cdot a^{y} = a^{x+y}$ e $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Simplificação de potência

Simplifique 27^( $\frac{2}{3}$ ).

Escrevemos $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^{2}$ .
Como $\sqrt[3]{27} = 3$ , elevamos 3 ao quadrado.

EXEMPLO RESOLVIDO

Expoente negativo

Calcule ( $\frac{1}{4}$ )^(−2).

O expoente negativo inverte a base.
Assim, $(\frac{1}{4})^{-2} = 4^{2}$ .

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CAPÍTULO 2

Função exponencial

Uma função exponencial descreve processos em que a variável aparece no expoente e a variação é multiplicativa.

VISUALIZAÇÃO CONCEITUAL

f(x) = a^{x}, a > 0\quad\text{e}\quad a \ne 1

Forma fundamental.

D(f) = \mathbb{R}\quad\text{e}\quad \operatorname{Im}(f) = (0, +\infty )

Domínio e imagem.

Definição, domínio e imagem

A função $f(x) = a^{x}$ é exponencial quando a > 0 e $a \ne 1$ . Seu domínio é o conjunto dos reais e sua imagem é o conjunto dos reais positivos.

O gráfico sempre passa por (0, 1), nunca toca o eixo x e possui $y = 0$ como assíntota horizontal.

f(x) = a^{x}, a > 0\quad\text{e}\quad a \ne 1

Forma fundamental.

D(f) = \mathbb{R}\quad\text{e}\quad \operatorname{Im}(f) = (0, +\infty )

Domínio e imagem.

Crescimento e decrescimento

Se $a > 1$ , a função é estritamente crescente. Se $0 < a < 1$ , é estritamente decrescente.

A monotonicidade permite comparar expoentes quando as potências possuem a mesma base.

$a > 1:$ expoente maior produz valor maior.
$0 < a < 1:$ expoente maior produz valor menor.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Função exponencial

Função real $f(x) = a^{x}$ com base positiva e diferente de 1.

Assíntota

Reta da qual o gráfico se aproxima indefinidamente.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Monotonicidade

$f(x)=a^{x}$ é crescente para a>1 e decrescente para $0<a<1$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Crescimento de uma cultura

Uma cultura começa com 200 células e dobra a cada hora. Quantas haverá após 5 horas?

O modelo é $N(t)=200\cdot 2^{t}$ .
Substituímos $t=5$ e calculamos $2^{5}=32$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Comparação exponencial

Resolva $3^{x-1}=27$ .

Escrevemos $27=3^{3}$ .
Igualamos os expoentes: $x-1=3$ .

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CAPÍTULO 3

Logaritmos e propriedades

O logaritmo responde qual expoente deve ser aplicado a uma base para obter determinado número positivo.

VISUALIZAÇÃO CONCEITUAL

\log_a b = c \Leftrightarrow a^{c} = b

Definição de logaritmo.

a > 0, a \ne 1\quad\text{e}\quad b > 0

Condições de existência.

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

Produto.

Definição e condições de existência

A igualdade log_a $b = c$ equivale a $a^{c}$ = b. A base deve ser positiva e diferente de 1, e o logaritmando deve ser positivo.

Essas condições precisam ser verificadas antes de qualquer manipulação algébrica.

\log_a b = c \Leftrightarrow a^{c} = b

Definição de logaritmo.

a > 0, a \ne 1\quad\text{e}\quad b > 0

Condições de existência.

Propriedades operatórias

Logaritmos transformam produtos em somas, quocientes em diferenças e potências em produtos. Não existe regra semelhante para o logaritmo de uma soma.

A mudança de base permite calcular qualquer logaritmo usando uma base conveniente.

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

Produto.

\log_a(\frac{x}{y})=\log_a x-\log_a y

Quociente.

\log_a(x^{k})=k\cdot \log_a x

Potência.

\log_a b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

Mudança de base.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Base

Número a que será elevado ao expoente procurado.

Logaritmando

Número positivo b cujo logaritmo é calculado.

Antilogaritmo

Número b obtido ao elevar a base ao valor do logaritmo.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Unicidade

Para base válida, cada número positivo possui um único logaritmo real.

EXEMPLO RESOLVIDO

Cálculo pela definição

Calcule $\log_2 32$ .

Procuramos c tal que $2^{c}=32$ .
Como $32=2^{5}$ , identificamos o expoente.

EXEMPLO RESOLVIDO

Mudança de base

Expresse $\log_2 7$ usando logaritmos decimais.

Aplicamos log_a $b=\frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ .
Escolhemos $c=10$ .

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CAPÍTULO 4

Função logarítmica

A função logarítmica é a inversa da exponencial e converte variações multiplicativas em aditivas.

VISUALIZAÇÃO CONCEITUAL

f(x)=\log_a x

a>0 e a≠1.

D(f)=(0,+\infty ), \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}

Domínio e imagem.

Domínio, imagem e gráfico

Em $f(x)=\log_a x$ , o domínio é (0,+ $\infty$ ) e a imagem é $\mathbb{R}$ . O gráfico passa por (1,0) e tem $x=0$ como assíntota vertical.

Os gráficos de $y=a^{x}$ e $y=\log_a x$ são simétricos em relação à reta y=x.

f(x)=\log_a x

a>0 e a≠1.

D(f)=(0,+\infty ), \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}

Domínio e imagem.

Monotonicidade e sinal

Para $a>1$ , a função é crescente; para $0<a<1$ , é decrescente. O sinal de $\log_a x$ depende da posição de x em relação a 1 e do valor da base.

A leitura do gráfico ajuda a resolver comparações e a interpretar escalas logarítmicas.

Toda função logarítmica passa por (1,0).
log_a $a = 1$ e log_a $1 = 0$ .

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Função inversa

Função que desfaz a correspondência realizada por outra função.

Assíntota vertical

Reta vertical da qual o gráfico se aproxima sem alcançá-la.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Inversão exponencial-logarítmica

log_ $a(a^{x})=x$ e $a^{\log_a x}=x$ , para x no domínio correspondente.

EXEMPLO RESOLVIDO

Pontos notáveis

Encontre três pontos do gráfico $y=\log_3 x$ .

Escolhemos expoentes −1, 0 e 1.
As entradas correspondentes são $3^{-1}$ , $3^{0}$ e $3^{1}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Domínio de uma composição

Determine o domínio de $f(x)=\log_5(x-2)$ .

O logaritmando deve ser positivo.
Logo, $x-2>0$ .

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CAPÍTULO 5

Equações exponenciais e logarítmicas

Resolver essas equações exige preservar as condições de existência e escolher uma transformação adequada.

VISUALIZAÇÃO CONCEITUAL

a^{u}=a^{v} \Rightarrow u=v

Injetividade da exponencial.

\log_a u=\log_a v \Rightarrow u=v

Com u>0 e v>0.

a^{2x}=(a^{x})^{2}

Substituição t=a^x.

Estratégias para equações

Em equações exponenciais, tente reduzir os membros a uma mesma base. Quando isso não for possível, aplique logaritmos aos dois lados.

Em equações logarítmicas, determine primeiro o domínio, use propriedades com cuidado e teste as soluções na expressão original.

a^{u}=a^{v} \Rightarrow u=v

Injetividade da exponencial.

\log_a u=\log_a v \Rightarrow u=v

Com u>0 e v>0.

Substituição

Expressões como $a^{2x}$ e $a^{x}$ podem formar uma equação quadrática após a substituição $t=a^{x}$ , sempre com $t>0$ .

Ao retornar à variável original, descartam-se valores de t não positivos e soluções fora do domínio.

a^{2x}=(a^{x})^{2}

Substituição t=a^x.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Solução

Valor do domínio que torna a igualdade verdadeira.

Solução extranha

Valor obtido na manipulação algébrica que não satisfaz a equação original.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Injetividade

Funções exponenciais e logarítmicas de base válida não repetem valores.

EXEMPLO RESOLVIDO

Equação exponencial

Resolva $2^{x+1}=20$ .

Aplicamos logaritmo aos dois membros.
(x+1)log $2=\log 20$ e isolamos x.

EXEMPLO RESOLVIDO

Equação logarítmica

Resolva $\log_3(x-1)$ +log_ $3(x+1)=2$ .

O domínio exige $x>1$ .
Unimos os logaritmos: log_3[(x−1)(x+1)]=2.
Então $x^{2}-1=9$ .

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CAPÍTULO 6

Inequações exponenciais e logarítmicas

A ordem é preservada em bases maiores que 1 e invertida em bases entre 0 e 1.

VISUALIZAÇÃO CONCEITUAL

a>1: a^{u}<a^{v} \Leftrightarrow u<v

Ordem preservada.

0<a<1: a^{u}<a^{v} \Leftrightarrow u>v

Ordem invertida.

Comparação e sentido da desigualdade

Depois de garantir o domínio, compare os expoentes ou argumentos usando a monotonicidade da função.

O erro mais comum é esquecer de inverter o sinal quando a base está entre 0 e 1.

a>1: a^{u}<a^{v} \Leftrightarrow u<v

Ordem preservada.

0<a<1: a^{u}<a^{v} \Leftrightarrow u>v

Ordem invertida.

Domínio antes da resolução

Em uma inequação logarítmica, todos os logaritmandos devem ser positivos. A solução final é a interseção entre a desigualdade obtida e essas condições.

Uma tabela de sinais pode ser necessária quando o argumento é um produto ou quociente.

Registre as condições de existência.
Use a monotonicidade da base.
Interseccione os conjuntos ao final.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Conjunto-solução

Conjunto de todos os valores que tornam a desigualdade verdadeira.

Restrição de domínio

Condição que uma variável deve satisfazer para a expressão existir.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Comparação logarítmica

Para argumentos positivos, log_a $u<\log_a v$ equivale a u<v se a>1 e a $u>v$ se 0<a<1.

EXEMPLO RESOLVIDO

Base maior que um

Resolva log_ $2(x-1)\ge 3$ .

O domínio exige $x>1$ .
Como $2>1$ , preservamos a ordem: $x-1\ge 2^{3}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Base entre zero e um

Resolva $(\frac{1}{3})^{2x-1}>\frac{1}{9}$ .

Escrevemos $\frac{1}{9}=(\frac{1}{3})^{2}$ .
A base está entre 0 e 1, então invertemos a comparação: $2x-1<2$ .

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CAPÍTULO 7

Logaritmos decimais e aplicações

Logaritmos de base 10 e base e são usados em ciência, finanças e modelos de crescimento ou decaimento.

VISUALIZAÇÃO CONCEITUAL

\log x = \log_10 x

Logaritmo decimal.

\ln x = \log_e x

Logaritmo natural.

M(t)=M_{0}(1+i)^{t}

Modelo de juros compostos.

Logaritmo decimal e natural

Quando a base é 10, costuma-se escrever $\log x$ . O logaritmo natural tem base e e é escrito $\ln x$ .

Antes das calculadoras, característica e mantissa permitiam consultar valores em tábuas. Hoje a decomposição ainda é útil para estimativas e notação científica.

\log x = \log_10 x

Logaritmo decimal.

\ln x = \log_e x

Logaritmo natural.

Modelos e escalas

Escalas logarítmicas comprimem grandes intervalos: um aumento de uma unidade pode representar multiplicação por uma potência fixa.

Em juros compostos, crescimento populacional e meia-vida, logaritmos permitem isolar o tempo que aparece no expoente.

M(t)=M_{0}(1+i)^{t}

Modelo de juros compostos.

t = \frac{\log\!\left(\frac{M}{M_0}\right)}{\log(1+i)}

Tempo isolado por logaritmos.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Logaritmo decimal

Logaritmo cuja base é 10.

Logaritmo natural

Logaritmo cuja base é o número e.

Ordem de grandeza

Escala aproximada de um número expressa por uma potência de 10.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Escalonamento decimal

Para $x>0$ e inteiro n, $\log(10^{n} x)=n+\log x$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Tempo de investimento

R$ 1.000 rendem 5% ao ano. Em quanto tempo o montante chega a R$ 1.500?

Usamos $1500=1000\cdot 1{,}05^{t}$ .
Logo, $1{,}5=1{,}05^{t}$ e $t=\log\frac{1{,}5}{\log}(1{,}05)$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Notação científica

Escreva $\log(3{,}2\cdot 10^{5})$ como soma.

Aplicamos o logaritmo do produto.
Usamos $\log(10^{5})=5$ .

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Exercícios de Logaritmos

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DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Reconhecer o expoente como a incógnita de um modelo de crescimento.

Antes de começar: Potências, razões e unidades de tempo.

Uma situação para resolver

Em um modelo idealizado, uma cultura inicia com 300 unidades e dobra a cada 4 horas. Em quanto tempo alcança 2.400 unidades?

A quantidade após t horas é $N(t)=300\cdot 2^{\frac{t}{4}}$ . O expoente conta períodos completos ou fracionários de 4 horas.
Divida a meta pelo valor inicial: $\frac{2400}{300}=8$ . Como $8=2^{3}$ , são necessárias três duplicações.
Cada duplicação leva 4 horas: $t=3\cdot 4=12$ . A sequência 300, 600, 1200, 2400 confirma o resultado.

Conclusão: 12 horas, dentro das hipóteses do modelo.