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Exercícios resolvidos de Logaritmos

Compreenda potências, funções exponenciais e logarítmicas, suas propriedades e aplicações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Reconhecer o expoente como a incógnita de um modelo de crescimento.

Antes de começar: Potências, razões e unidades de tempo.

Uma situação para resolver

Em um modelo idealizado, uma cultura inicia com 300 unidades e dobra a cada 4 horas. Em quanto tempo alcança 2.400 unidades?

A quantidade após t horas é $N(t)=300\cdot 2^{\frac{t}{4}}$ . O expoente conta períodos completos ou fracionários de 4 horas.
Divida a meta pelo valor inicial: $\frac{2400}{300}=8$ . Como $8=2^{3}$ , são necessárias três duplicações.
Cada duplicação leva 4 horas: $t=3\cdot 4=12$ . A sequência 300, 600, 1200, 2400 confirma o resultado.

Conclusão: 12 horas, dentro das hipóteses do modelo.

Potências e raízes

Questão 1

Fácil

Quanto vale 81^( $\frac{1}{2}$ )?

3
9
27
40,5

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Resposta: 9

O expoente $\frac{1}{2}$ representa a raiz quadrada: $\sqrt{81}=9$ .

Questão 2

Médio

Simplifique 8^( $\frac{4}{3}$ ).

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Resposta: 16

$\sqrt[3]{8}=2$ e $2^{4}=16$ .

Função exponencial

Questão 1

Fácil

A função $f(x)=(\frac{1}{2})^{x}$ é:

Crescente
Decrescente
Constante
Sem domínio real

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Resposta: Decrescente

Bases entre 0 e 1 geram funções exponenciais decrescentes.

Questão 2

Médio

Resolva $5^{x-1}=125$ .

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Resposta: 4

$125=5^{3}$ ; logo $x-1=3$ e $x=4$ .

Conceito e propriedades dos logaritmos

Questão 1

Fácil

Qual é o valor de $\log_3 81$ ?

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Resposta: 4

Como $3^{4}=81$ , log_3 $81=4$ .

Questão 2

Médio

Se log_2 $x=5$ , qual é o valor de x?

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Resposta: 32

Pela definição, $x=2^{5}=32$ .

Questão 3

Difícil

Se $\log 2$ ≈0,3010, quanto vale $\log 200$ ?

0,3010
1,3010
2,3010
3,0100

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Resposta: 2,3010

$200=2\cdot 10^{2}$ , então log $200=\log 2+2$ .

Função logarítmica

Questão 1

Fácil

Qual é o domínio de $f(x)=\log_4(x-3)$ ?

$x>0$
$x\ge 3$
$x>3$
$x\ne 3$

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Resposta: $x>3$

O logaritmando deve ser positivo: $x-3>0$ .

Questão 2

Médio

O gráfico de $y=\log_5 x$ cruza o eixo x em:

(0,0)
(0,1)
(1,0)
(5,1)

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Resposta: (1,0)

log_5 $1=0$ .

Equações exponenciais e logarítmicas

Questão 1

Médio

Resolva log_ $2(x-2)=3$ .

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Resposta: 10

$x-2=2^{3}=8$ ; portanto $x=10$ .

Questão 2

Difícil

Resolva $\log_3 x$ +log_ $3(x-2)=1$ .

−1
1
3
5

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Resposta: 3

O domínio exige $x>2$ . Temos $x(x-2)=3$ , logo $x=3$ ou −1; apenas 3 é válido.

Inequações exponenciais e logarítmicas

Questão 1

Médio

Resolva log_ $2(x+1)>2$ .

$x>1$
$x>3$
$x\ge 3$
$x<3$

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Resposta: $x>3$

Como a base é maior que 1, $x+1>4$ , então $x>3$ .

Questão 2

Difícil

Resolva $(\frac{1}{2})^{x}\le \frac{1}{8}$ .

$x\le 3$
$x<3$
$x\ge 3$
$x>8$

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Resposta: $x\ge 3$

$\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^{3}$ . Como a base está entre 0 e 1, a ordem dos expoentes é invertida.

Logaritmos decimais e aplicações

Questão 1

Fácil

Qual é o valor de $\log 0{,}001$ ?

−3
−2
2
3

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Resposta: −3

$0{,}001=10^{-3}$ .

Questão 2

Médio

Uma população dobra a cada 6 anos. Quantas vezes o tamanho inicial ela terá após 18 anos?

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Resposta: 8

São três períodos de duplicação: $2^{3}=8$ .

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Logaritmos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.