APOSTILA · ÁLGEBRA, GEOMETRIA E ROTAÇÕES NO PLANO

Conteúdo teórico de Números Complexos

Uma construção completa dos números complexos: da unidade imaginária e das operações algébricas à forma polar, De Moivre, raízes da unidade, equações e aplicações geométricas.

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Como estudar esta apostila

Alterne sempre três representações: a forma algébrica facilita somas, a figura no plano esclarece módulo e argumento, e a forma trigonométrica simplifica produtos, potências e raízes. Antes de calcular, escolha a representação mais econômica.

CAPÍTULO 1

Da ampliação dos números ao conjunto complexo

Os números complexos surgem quando desejamos manter as operações algébricas mesmo em equações que não possuem solução real, como $x^{2}+1=0$ .

SÍNTESE DO CAPÍTULO

i^2=-1

Relação que define a unidade imaginária.

\mathbb C=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb R\}

Conjunto dos números complexos na forma algébrica.

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Adição no modelo de pares ordenados.

Por que ampliar os conjuntos numéricos?

Cada ampliação numérica resolve limitações da anterior: os inteiros permitem subtrações, os racionais permitem divisões e os reais completam a reta. Ainda assim, nenhum real elevado ao quadrado produz um número negativo.

Definimos a unidade imaginária i pela relação $i^{2}=-1$ . Um número complexo é escrito como $z=a+bi$ , com a e b reais. Os reais aparecem como o caso particular $b=0$ .

i^2=-1

Relação que define a unidade imaginária.

\mathbb C=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb R\}

Conjunto dos números complexos na forma algébrica.

Pares ordenados e forma algébrica

A escrita a+bi corresponde ao par ordenado (a,b). Nessa construção, a soma ocorre componente a componente e o produto é definido para reproduzir $i^{2}=-1$ .

Dois complexos são iguais somente quando suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias também são iguais. Essa comparação transforma muitas identidades em pequenos sistemas lineares.

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Adição no modelo de pares ordenados.

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Produto compatível com a forma algébrica.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Unidade imaginária

Número i definido por $i^{2}=-1$ .

Parte real

Em $z=a+bi$ , o número real a, indicado por $Re(z)$ .

Parte imaginária

Em $z=a+bi$ , o número real b, indicado por $\operatorname{Im}(z)$ .

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Igualdade de complexos

$a+bi=c+di$ se, e somente se, $a=c$ e $b=d$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Calibração de um sinal

Um ajuste eletrônico é registrado por $z=(p-1)+(2q+3)i$ . Se o valor esperado é 4-5i, determine p e q.

Compare as partes reais: p $-1=4$ .
Compare as partes imaginárias: $2q+3=-5$ .
Resolva as duas equações reais.

EXEMPLO RESOLVIDO

Equação sem solução real

Resolva $x^{2}+16=0 no$ conjunto dos complexos.

Isole $x^{2}=-16$ .
Escreva $-16=16i^{2}$ .
Extraia as duas raízes quadradas.

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CAPÍTULO 2

Forma algébrica e operações

Na forma a+bi, as regras distributivas usuais continuam válidas; ao final, toda potência $i^{2}$ é substituída por -1.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Soma de complexos.

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Produto na forma algébrica.

i^{4k}=1,\quad i^{4k+1}=i,\quad i^{4k+2}=-1,\quad i^{4k+3}=-i

Ciclo das potências de i.

Adição, subtração e multiplicação

Somamos ou subtraímos separadamente as partes reais e imaginárias. Na multiplicação, aplicamos a distributividade e reunimos os termos depois de usar $i^{2}=-1$ .

O produto por i possui interpretação geométrica: transforma a direção de um vetor por uma rotação de $90^{\circ}$ no sentido anti-horário.

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Soma de complexos.

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Produto na forma algébrica.

Potências da unidade imaginária

As potências inteiras de i repetem um ciclo de quatro valores: 1, i, -1 e -i. Para expoentes grandes, basta dividir o expoente por 4 e observar o resto.

Esse ciclo é um primeiro exemplo de periodicidade algébrica e antecipa a interpretação de potências como rotações no plano complexo.

i^{4k}=1,\quad i^{4k+1}=i,\quad i^{4k+2}=-1,\quad i^{4k+3}=-i

Ciclo das potências de i.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Imaginário puro

Complexo bi com b diferente de zero e parte real nula.

Oposto

Oposto de $z=a+bi$ é -z=-a-bi.

Ciclo de potências

Repetição periódica dos valores de iⁿ a cada quatro expoentes.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Fechamento das operações

A soma, a diferença e o produto de dois números complexos são novamente números complexos.

EXEMPLO RESOLVIDO

Composição de deslocamentos

Dois deslocamentos no plano são codificados por $z_{1}=3+2i$ e $z_{2}=-1+5i$ . Determine o deslocamento total.

Some as componentes horizontais: $3+(-1)=2$ .
Some as componentes verticais: $2+5=7$ .
Reúna as partes na forma algébrica.

EXEMPLO RESOLVIDO

Potência de expoente elevado

Calcule $i^{2026}$ .

Divida 2026 por 4.
O resto da divisão é 2.
Use $i^{4k+2}=-1$ .

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CAPÍTULO 3

Conjugado, módulo e divisão

O conjugado transforma produtos complexos em quantidades reais e fornece uma estratégia segura para dividir números complexos.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)

Soma com o conjugado.

z\overline z=a^2+b^2=|z|^2

Produto com o conjugado.

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}

Divisão por meio do conjugado.

Conjugado e suas propriedades

O conjugado de $z=a+bi$ é z̄=a-bi. Geometricamente, os dois pontos são simétricos em relação ao eixo real.

Somar um complexo ao conjugado elimina a parte imaginária; multiplicá-los produz o quadrado do módulo. Essas identidades são úteis em equações e simplificações.

z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)

Soma com o conjugado.

z\overline z=a^2+b^2=|z|^2

Produto com o conjugado.

Quociente de complexos

Para dividir por c+di, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado c-di. O denominador torna-se $c^{2}$ $+d^{2}$ , que é real e positivo quando o divisor é não nulo.

A técnica é análoga à racionalização: ela não muda o valor da fração e entrega o resultado na forma a+bi.

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}

Divisão por meio do conjugado.

\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2},\quad z\ne0

Inverso multiplicativo de um complexo.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Conjugado

Reflexão de $z=a+bi no$ eixo real: z̄=a-bi.

Inverso multiplicativo

Número $z^{-1}$ que satisfaz z $z^{-1}$ =1.

Racionalização complexa

Uso do conjugado para obter denominador real.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Compatibilidade do conjugado

O conjugado preserva somas e produtos: conjugado $(z+w)=z̄+w̄$ e conjugado $(zw)=z̄w̄$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Impedância equivalente

Um modelo simplificado exige calcular 10/(2-i). Escreva o resultado na forma algébrica.

Multiplique por (2+i)/(2+i).
O denominador é (2-i) $(2+i)=5$ .
O numerador é 10(2+i).

EXEMPLO RESOLVIDO

Identificação por soma e produto

Um complexo z satisfaz z+z̄=8 e z z̄=25. Sabendo que $\operatorname{Im}(z)>0$ , determine z.

Da primeira igualdade, 2 $Re(z)=8$ , então $a=4$ .
Da segunda, $a^{2}+b^{2}=25$ .
Resolva $16+b^{2}=25$ e escolha b positivo.

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CAPÍTULO 4

Plano complexo e geometria

Ao associar a+bi ao ponto (a,b), operações algébricas passam a descrever distâncias, vetores, simetrias e rotações.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}

Módulo pela distância euclidiana.

d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|

Distância entre dois pontos complexos.

|z-z_0|=r

Circunferência no plano complexo.

Módulo, distância e argumento

O módulo $\left|z\right|$ é a distância da origem ao ponto que representa z. A distância entre os pontos $z_{1}$ e $z_{2}$ é o módulo da diferença $z_{1}$ - $z_{2}$ .

O argumento é qualquer ângulo orientado entre o eixo real positivo e o vetor de z. Para z não nulo, argumentos diferem por múltiplos inteiros de 2 $\pi$ .

|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}

Módulo pela distância euclidiana.

d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|

Distância entre dois pontos complexos.

Lugares geométricos

Equações com módulos descrevem lugares geométricos. A condição $\left|z-z_{0}\right|=r$ representa a circunferência de centro $z_{0}$ e raio r; a desigualdade menor ou igual inclui o disco.

Igualdades de distâncias, como $\left|z-a\right|=\left|z-b\right|$ , descrevem a mediatriz do segmento que une os pontos a e b.

|z-z_0|=r

Circunferência no plano complexo.

|z-a|=|z-b|

Pontos equidistantes de a e b.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Plano de Argand-Gauss

Plano em que o eixo horizontal representa a parte real e o vertical, a imaginária.

Módulo

Distância de z à origem.

Argumento

Ângulo orientado associado à direção de z não nulo.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Desigualdade triangular

EXEMPLO RESOLVIDO

Cobertura de uma antena

No mapa complexo, uma antena está em $z_{0}=2+i$ e cobre pontos a distância máxima 3. Qual desigualdade descreve a região atendida?

A distância de z ao centro é $\left|z-z_{0}\right|$ .
A cobertura inclui a fronteira e o interior.
Compare a distância máxima com 3.

EXEMPLO RESOLVIDO

Distância entre duas posições

Um robô vai de $z_{1}=-2+i até z_{2}=4-7i$ em linha reta. Qual é o comprimento do deslocamento?

Calcule $z_{2}$ $-z_{1}=6-8i$ .
Use o módulo $√(6^{2}+(-8)^{2}$ ).
Simplifique a raiz.

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CAPÍTULO 5

Forma trigonométrica e argumento

Coordenadas polares descrevem um complexo por seu tamanho e sua direção, revelando a estrutura geométrica do produto.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

z=r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)

Forma trigonométrica ou polar.

r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \tan\theta=\frac ba

Conversão a partir da forma algébrica, com ajuste de quadrante.

\arg z=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z

Família de argumentos do mesmo complexo.

Conversão entre formas

Se $z=a+bi$ possui módulo r e argumento θ, então $a=r$ cosθ e $b=r$ senθ. A forma trigonométrica registra essas duas relações em uma única expressão.

Para determinar θ, observe o quadrante além do valor da tangente $\frac{b}{a}$ . O argumento principal é escolhido em um intervalo convencionado, geralmente (- $\pi$ , $\pi$ ] ou [0,2 $\pi$ ).

z=r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)

Forma trigonométrica ou polar.

r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \tan\theta=\frac ba

Conversão a partir da forma algébrica, com ajuste de quadrante.

Argumentos equivalentes

A direção de z não muda quando adicionamos uma volta completa ao argumento. Por isso, um mesmo complexo não nulo admite infinitas escritas polares.

O número zero é uma exceção: seu módulo é zero, mas sua direção não é definida.

\arg z=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z

Família de argumentos do mesmo complexo.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Forma polar

Representação de z por módulo e argumento.

Argumento principal

Representante escolhido da família de argumentos em um intervalo padrão.

Afíxo

Número complexo associado a um ponto do plano.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Unicidade polar

Para z não nulo, o módulo é único e os argumentos diferem por múltiplos de 2 $\pi$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Vetor de navegação

Um deslocamento possui componentes $z=-3+3\sqrt{3} i$ . Determine seu módulo e um argumento em [0,2 $\pi$ ).

Calcule $r=\sqrt{9+27}=6$ .
O ponto está no segundo quadrante.
Como $\left|\tan\theta \right|=\sqrt{3}, o ângulo$ de referência é $\frac{\pi }{3}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Da forma polar à algébrica

Converta 8(cos(7 $\frac{\pi }{6}$ )+i sen(7 $\frac{\pi }{6}$ )) para a forma a+bi.

Use $\cos(\frac{7\pi }{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Use $\operatorname{sen}(\frac{7\pi }{6})=-\frac{1}{2}$ .
Multiplique cada coordenada por 8.

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CAPÍTULO 6

Produto, quociente e rotações

Na forma trigonométrica, multiplicar combina escalas e rotações: módulos são multiplicados e argumentos são somados.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

|z_1z_2|=|z_1||z_2|

Módulo do produto.

\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}

Argumento do produto.

\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\quad \arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2

Módulo e argumento do quociente.

Regra geométrica do produto

Ao multiplicar $z_{1}$ e $z_{2}$ , o módulo do resultado é o produto dos módulos. A direção final é obtida somando os argumentos.

Multiplicar por um complexo de módulo 1 realiza uma rotação sem alterar comprimentos; multiplicar por um real positivo altera apenas a escala.

|z_1z_2|=|z_1||z_2|

Módulo do produto.

\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}

Argumento do produto.

Quociente e rotação inversa

Na divisão, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos. O divisor precisa ser não nulo.

Essa leitura permite descrever semelhanças no plano: $z\mapsto az+b$ combina rotação, dilatação e translação quando a é não nulo.

\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\quad \arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2

Módulo e argumento do quociente.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Rotação complexa

Transformação obtida pela multiplicação por um complexo de módulo 1.

Dilatação

Multiplicação de todas as distâncias por um fator positivo.

Semelhança direta

Composição de rotação, dilatação e translação que preserva ângulos orientados.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Produto polar

Se $z_{1}=r_{1}$ cis $\theta _{1}$ e $z_{2}=r_{2}$ cis $\theta _{2}$ , então $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}cis(\theta _{1}+\theta _{2})$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Giro de uma peça

O ponto $z=3-2i$ é girado $90^{\circ}$ no sentido anti-horário em torno da origem. Qual é a nova posição?

Uma rotação de $90^{\circ}$ corresponde à multiplicação por i.
Calcule $i(3-2i)=3i-2i^{2}$ .
Use $i^{2}=-1$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Escala e orientação

Uma transformação multiplica todos os pontos por $w=2(cos30^{\circ}+i sen30^{\circ})$ . O que acontece com um segmento de comprimento 5?

O módulo de w é 2, portanto comprimentos dobram.
O argumento de w é $30^{\circ}$ , portanto direções giram $30^{\circ}$ .
Aplique o fator 2 ao comprimento.

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CAPÍTULO 7

Fórmula de De Moivre e potenciação

Potências inteiras repetem a regra do produto: elevam o módulo e multiplicam o argumento.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

[r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)]^n=r^n(\cos n\theta+i\operatorname{sen}n\theta)

Fórmula de De Moivre.

\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta

Identidade obtida de De Moivre.

\operatorname{sen}(3\theta)=3\operatorname{sen}\theta-4\operatorname{sen}^3\theta

Parte imaginária da potência cúbica.

Potências na forma polar

A fórmula de De Moivre evita expansões algébricas longas. Ela funciona para expoentes inteiros e mantém visível a ação geométrica da potência.

Quando $\left|z\right|>1$ , os módulos crescem; quando $0<\left|z\right|<1$ , diminuem. O argumento gira em progressão aritmética.

[r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)]^n=r^n(\cos n\theta+i\operatorname{sen}n\theta)

Fórmula de De Moivre.

Identidades trigonométricas

Expandir (cosθ+i senθ)ⁿ algebricamente e comparar as partes real e imaginária com $\cos(n\theta )$ +i $\operatorname{sen}(n\theta )$ produz identidades de múltiplos arcos.

Essa conexão mostra que trigonometria e álgebra complexa descrevem a mesma estrutura de rotação por linguagens diferentes.

\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta

Identidade obtida de De Moivre.

\operatorname{sen}(3\theta)=3\operatorname{sen}\theta-4\operatorname{sen}^3\theta

Parte imaginária da potência cúbica.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

cis θ

Abreviação de cosθ+i senθ.

Potência complexa inteira

Produto repetido de um complexo por ele mesmo.

Múltiplo de arco

Ângulo nθ produzido ao elevar cisθ à potência n.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

De Moivre

Para todo inteiro n, (cisθ)ⁿ= $cis(n\theta )$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Potência de um fasor

Calcule [2(cos $20^{\circ}$ +i sen $20^{\circ}$ )]³.

Eleve o módulo: $2^{3}=8$ .
Multiplique o argumento: 3· $20^{\circ}$ = $60^{\circ}$ .
Converta os valores notáveis se desejar a forma algébrica.

EXEMPLO RESOLVIDO

Rotação repetida

Um ponto de módulo 1 inicia com argumento $15^{\circ}$ e, em cada etapa, seu complexo é elevado ao quadrado. Qual é o argumento após três etapas?

Cada quadrado dobra o argumento.
Após três etapas, o fator é $2^{3}=8$ .
Calcule 8· $15^{\circ}$ .

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CAPÍTULO 8

Radiciação e equações binômias

Uma equação zⁿ=w possui n soluções complexas igualmente espaçadas em argumento quando w é não nulo.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\operatorname{sen}\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)

Raízes n-ésimas de r cisθ, com k=0,...,n-1.

z^{2m}+bz^m+c=0\quad\Longrightarrow\quad u^2+bu+c=0

Redução de uma equação trinômia.

Raízes n-ésimas

Para resolver zⁿ=w, escreva w na forma polar. O módulo de cada raiz é a raiz n-ésima positiva do módulo de w; os argumentos são obtidos somando 2k $\pi$ antes de dividir por n.

As n soluções são vértices de um polígono regular inscrito em uma circunferência centrada na origem.

z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\operatorname{sen}\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)

Raízes n-ésimas de r cisθ, com k=0,...,n-1.

Equações binômias e trinômias

Equações da forma zⁿ=a são binômias. Algumas equações trinômias podem ser reduzidas a uma quadrática pela substituição $u=zᵐ$ .

Depois de encontrar os possíveis valores de u, resolvemos separadamente cada equação zᵐ=u e reunimos todas as raízes.

z^{2m}+bz^m+c=0\quad\Longrightarrow\quad u^2+bu+c=0

Redução de uma equação trinômia.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Raiz n-ésima

Número z que satisfaz zⁿ=w.

Equação binômia

Equação redutível à forma zⁿ=a.

Equação trinômia

Equação em três termos que pode admitir substituição em uma potência intermediária.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Distribuição angular das raízes

As raízes n-ésimas de um complexo não nulo possuem argumentos separados por 2 $\frac{\pi }{n}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Três orientações de um mecanismo

Um mecanismo retorna à mesma configuração quando $z^{3}=8$ . Determine suas três posições complexas.

Escreva $8=8 cis0$ .
O módulo das raízes é 2.
Use os argumentos 0, 2 $\frac{\pi }{3}$ e 4 $\frac{\pi }{3}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Equação trinômia

Resolva $z^{4}$ $-5z^{2}+4=0$ .

Faça $u=z^{2}$ .
Resolva $u^{2}$ $-5u+4=0$ , obtendo $u=1$ ou $u=4$ .
Resolva $z^{2}=1$ e $z^{2}=4$ .

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CAPÍTULO 9

Raízes da unidade e polígonos regulares

As soluções de zⁿ=1 combinam simetria geométrica, periodicidade e uma estrutura multiplicativa própria.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\omega_k=e^{2k\pi i/n}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\operatorname{sen}\frac{2k\pi}{n}

Raízes n-ésimas da unidade.

\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0\quad(n>1)

Soma vetorial das raízes.

\omega_k\text{ é primitiva}\Longleftrightarrow\operatorname{mdc}(k,n)=1

Critério para raiz primitiva.

Raízes e simetria

Todas as raízes n-ésimas da unidade têm módulo 1 e argumentos 2k $\frac{\pi }{n}$ . Elas dividem a circunferência unitária em arcos iguais.

A soma de todas as raízes é zero quando $n>1$ , reflexo do equilíbrio do polígono regular em torno da origem.

\omega_k=e^{2k\pi i/n}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\operatorname{sen}\frac{2k\pi}{n}

Raízes n-ésimas da unidade.

\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0\quad(n>1)

Soma vetorial das raízes.

Raízes primitivas

Uma raiz é primitiva quando suas potências percorrem todas as raízes n-ésimas da unidade. Isso ocorre quando seu índice é coprimo com n.

Raízes primitivas funcionam como geradores das rotações discretas de um polígono regular.

\omega_k\text{ é primitiva}\Longleftrightarrow\operatorname{mdc}(k,n)=1

Critério para raiz primitiva.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Raiz da unidade

Solução de zⁿ=1.

Raiz primitiva

Raiz cujas potências geram todas as demais raízes n-ésimas da unidade.

Simetria rotacional

Invariância de uma figura após rotações por ângulos específicos.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Estrutura das raízes da unidade

O produto de duas raízes n-ésimas da unidade é outra raiz n-ésima da unidade.

EXEMPLO RESOLVIDO

Posições de uma mesa hexagonal

Seis marcadores igualmente espaçados são representados pelas raízes de $z^{6}=1$ . Qual é o marcador de argumento 2 $\frac{\pi }{3}$ ?

Compare 2 $\frac{\pi }{3}$ com 2k $\frac{\pi }{6}$ .
Obtenha $k=2$ .
Calcule cos(2 $\frac{\pi }{3}$ )+i sen(2 $\frac{\pi }{3}$ ).

EXEMPLO RESOLVIDO

Teste de primitividade

A raiz ω₄=e^(2πi· $\frac{4}{10}$ ) é uma raiz décima primitiva?

Aplique o critério $mdc(k,n)=1$ .
Calcule $mdc(4{,}10)=2$ .
Compare o resultado com 1.

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CAPÍTULO 10

Forma exponencial, equações e aplicações

A fórmula de Euler une exponencial, trigonometria e números complexos e oferece uma linguagem compacta para oscilações e rotações.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

e^{i\theta}=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta

Fórmula de Euler.

z=re^{i\theta}

Forma exponencial de um complexo não nulo.

\operatorname{Re}\!\left(Ae^{i(\omega t+\varphi)}\right)=A\cos(\omega t+\varphi)

Representação complexa de uma oscilação.

Fórmula de Euler e forma exponencial

A identidade $e^{i\theta }=$ cosθ+i senθ permite escrever z= $re^{i\theta }$ . Nessa forma, produtos e quocientes seguem diretamente as leis de expoentes.

A igualdade $e^{i\pi }+1=0$ reúne cinco constantes fundamentais e expressa uma meia-volta no círculo unitário.

e^{i\theta}=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta

Fórmula de Euler.

z=re^{i\theta}

Forma exponencial de um complexo não nulo.

Equações polinomiais e sinais periódicos

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau n possui n raízes complexas quando contamos multiplicidades. Se os coeficientes são reais, raízes não reais aparecem em pares conjugados.

Em aplicações, a parte real de Ae^( $i(ωt+φ)$ ) representa uma oscilação A $\cos(ωt+φ)$ . O módulo controla a amplitude, ω a frequência angular e φ a fase inicial.

\operatorname{Re}\!\left(Ae^{i(\omega t+\varphi)}\right)=A\cos(\omega t+\varphi)

Representação complexa de uma oscilação.

P(\overline z)=\overline{P(z)}\quad\text{se }P\text{ tem coeficientes reais}

Simetria conjugada das raízes.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Forma exponencial

Representação $z=re^{i\theta }$ .

Fasor

Complexo que codifica amplitude e fase de uma oscilação senoidal.

Par conjugado de raízes

Par z e z̄ que ocorre em polinômios de coeficientes reais.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Raízes conjugadas

Se um polinômio de coeficientes reais tem z não real como raiz, então z̄ também é raiz com a mesma multiplicidade.

EXEMPLO RESOLVIDO

Sinal periódico

Um sinal é descrito pela parte real de 5e^(i(2t+ $\frac{\pi }{3}$ )). Qual é sua amplitude e sua fase inicial?

Compare com A e^( $i(ωt+φ)$ ).
O módulo A fornece a amplitude.
O termo constante do argumento fornece a fase inicial.

EXEMPLO RESOLVIDO

Completar raízes de um polinômio real

Um polinômio real de grau 4 tem raízes 2+i, -3 e 4. Qual raiz falta, contando todas como simples?

Os coeficientes são reais.
A raiz não real deve vir acompanhada de seu conjugado.
Conjugue 2+i.

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DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por $z=3+4i$ é girado $90^{\circ}$ no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

Uma rotação de $90^{\circ}$ no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
Distribua: $i(3+4i)=3i+4i^{2}$ . Como $i^{2}=-1$ , o resultado é −4+3i.
Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

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