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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

Ampliação e forma algébrica

Questão 1

Fácil

Quanto vale i6i^{6}?

  1. −1
  2. i
  3. −i
  4. 1
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Resposta: −1

i6=i4⋅i2=1⋅(−1)=−1i^{6}=i^{4}\cdot i^{2}=1\cdot (-1)=-1.

Questão 2

Médio

Se (a+2i)=(3+bi)(a+2i)=(3+bi), então a+b vale:

  1. 2
  2. 3
  3. 5
  4. 6
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Resposta: 5

Igualando as partes, a=3a=3 e b=2b=2; a+b=5a+b=5.

Questão 3

Fácil

Uma telemetria é codificada por z=(a−2)+(b+1)iz=(a-2)+(b+1)i e deve coincidir com 5-3i. Quanto vale a+b?

  1. 1
  2. 3
  3. 7
  4. 11
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Resposta: 3

Igualando as partes, a−2=5daˊa=7-2=5 dá a=7 e b+1=−3daˊb=−4b+1=-3 dá b=-4. Logo, a+b=3a+b=3.

Operações e potências de i

Questão 1

Fácil

Quanto vale (2+i)+(3−4i)?

  1. 5−3i
  2. 5+5i
  3. −1−3i
  4. 6−4i
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Resposta: 5−3i

Somamos partes reais e imaginárias: 2+3=52+3=5 e 1−4=−31-4=-3.

Questão 2

Difícil

Quanto vale (1+i)2(1+i)^{2}?

  1. 0
  2. 2
  3. 2i
  4. 1+2i
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Resposta: 2i

(1+i)2=1+2i+i2=2i(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i.

Questão 3

Médio

Dois filtros são representados por 2+i e 1-2i. Qual complexo representa a composição, dada pelo produto dos filtros?

  1. 4-3i
  2. 4+3i
  3. -3+4i
  4. 5-i
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Resposta: 4-3i

(2+i)(1−2i)=2−4i+i−2i2=4−3i(1-2i)=2-4i+i-2i^{2}=4-3i.

Plano complexo e lugares geométricos

Questão 1

Fácil

Qual é o módulo de −5+12i?

  1. 7
  2. 13
  3. 17
  4. 169
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Resposta: 13

∣z∣=25+144=13\left|z\right|=\sqrt{25+144}=13.

Questão 2

Fácil

Um drone se desloca do ponto z1=−1+2iz_{1}=-1+2i para z2z_{2}=5-6i. Qual é a distância percorrida em linha reta?

  1. 8
  2. 10
  3. 12
  4. 14
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Resposta: 10

z2z_{2}−z1=6−8i-z_{1}=6-8i e ∣6−8i∣=36+64=10\left|6-8i\right|=\sqrt{36+64}=10.

Forma trigonométrica

Questão 1

Médio

O número i possui módulo e argumento principal iguais a:

  1. 1 e 0
  2. 1 e π2\frac{\pi }{2}
  3. π2\frac{\pi }{2} e 1
  4. −1 e π\pi
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Resposta: 1 e π2\frac{\pi }{2}

O ponto (0,1) está na circunferência unitária e forma ângulo π2\frac{\pi }{2}.

Questão 2

Médio

Um vetor é representado por z=−2+23iz=-2+2\sqrt{3} i. Qual par módulo-argumento principal em [0,2π\pi ) o descreve?

  1. 2 e π3\frac{\pi }{3}
  2. 4 e π3\frac{\pi }{3}
  3. 4 e 2π3\frac{\pi }{3}
  4. 8 e 2π3\frac{\pi }{3}
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Resposta: 4 e 2π3\frac{\pi }{3}

O módulo é 4+12=4\sqrt{4+12}=4. O ponto está no segundo quadrante e tem ângulo de referência π3\frac{\pi }{3}, logo o argumento é 2π3\frac{\pi }{3}.

Radiciação e equações

Questão 1

Fácil

As raízes de x2+9=0x^{2}+9=0 são:

  1. ±3
  2. ±3i
  3. 3 e 9i
  4. Não existem
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Resposta: ±3i

x2=−9x^{2}=-9, portanto x=±3ix=\pm 3i.

Questão 2

Médio

As posições de equilíbrio de um sistema satisfazem z4=16z^{4}=16. Qual conjunto contém todas as soluções?

  1. {±2,±2i}
  2. {±4,±4i}
  3. {2,2i}
  4. {±22\sqrt{2},±22i\sqrt{2i}}
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Resposta: {±2,±2i}

O módulo das raízes é 2 e os argumentos são 0, π2\frac{\pi }{2}, π\pi e 3π2\frac{\pi }{2}.

Forma exponencial e aplicações

Questão 1

Difícil

Quantas raízes complexas, contando multiplicidades, possui um polinômio de grau 7?

  1. No máximo 6
  2. 7
  3. 14
  4. Depende dos coeficientes
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Resposta: 7

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, são exatamente 7 raízes contando multiplicidades.

Questão 2

Médio

A oscilação é a parte real de 3e^(i(πt+π2\frac{\pi }{2})). Qual é seu valor em t=12t=\frac{1}{2}?

  1. -3
  2. 0
  3. 3
  4. 32\frac{3}{2}
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Resposta: -3

Para t=12t=\frac{1}{2}, o argumento é π2\frac{\pi }{2}+π2\frac{\pi }{2}=π\pi . A parte real é 3cosπ\pi =-3.

Conjugado, módulo e divisão

Questão 1

Médio

Um circuito simplificado exige calcular 10/(1-2i). Qual é o resultado na forma algébrica?

  1. 1+2i
  2. 2+4i
  3. 2-4i
  4. 4+2i
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Resposta: 2+4i

Multiplicamos por 1+2i: 101+2i1+4=2+4i10\frac{1+2i}{1+4}=2+4i.

Questão 2

Difícil

Um complexo z satisfaz z+z̄=6, z z̄=25 e Im⁡(z)<0\operatorname{Im}(z)<0. Qual é z?

  1. 3-4i
  2. 3+4i
  3. 4-3i
  4. 5-i
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Resposta: 3-4i

Da soma, Re(z)=3Re(z)=3. Do produto, 32+b2=253^{2}+b^{2}=25, então b=±4b=\pm 4. A parte imaginária negativa escolhe b=−4b=-4.

Produto, quociente e rotações

Questão 1

Médio

A posição z=3+4iz=3+4i é girada 90∘90^{\circ} no sentido horário em torno da origem. Qual é a nova posição?

  1. -4+3i
  2. 4-3i
  3. -3-4i
  4. 3-4i
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Resposta: 4-3i

Uma rotação horária de 90∘90^{\circ} multiplica por -i: (3+4i)(−i)=4−3i(-i)=4-3i.

Questão 2

Fácil

Uma transformação multiplica os pontos por 2cis60∘60^{\circ}. Um segmento de comprimento 7 passa a ter qual comprimento?

  1. 7
  2. 9
  3. 14
  4. 21
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Resposta: 14

O módulo do fator é 2, então todas as distâncias são duplicadas. O argumento apenas gira o segmento.

De Moivre e potenciação

Questão 1

Difícil

Calcule (3+i)6(\sqrt{3}+i)^{6} usando a forma polar.

  1. -64
  2. 64
  3. 32i
  4. -32i
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Resposta: -64

3+i=2cis(π6)\sqrt{3}+i=2cis(\frac{\pi }{6}). Pela fórmula de De Moivre, a sexta potência é 262^{6}cisπ\pi =-64.

Questão 2

Médio

Um rotor é representado por z=2cis15∘z=2cis15^{\circ}. Qual é z4z^{4} na forma algébrica?

  1. 8+83i\sqrt{3i}
  2. 83\sqrt{3}+8i
  3. 16i
  4. -16
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Resposta: 8+83i\sqrt{3i}

z4=16cis60∘=16(12+i32)=8+83iz^{4}=16cis60^{\circ}=16(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=8+8\sqrt{3i}.

Raízes da unidade

Questão 1

Fácil

Quais das raízes sextas da unidade possuem parte imaginária estritamente positiva?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
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Resposta: 2

Entre os argumentos 0, π3\frac{\pi }{3}, 2π3\frac{\pi }{3}, π\pi , 4π3\frac{\pi }{3} e 5π3\frac{\pi }{3}, somente π3\frac{\pi }{3} e 2π3\frac{\pi }{3} ficam no semiplano superior.

Questão 2

Médio

A raiz ω₅=e^(2πi·512\frac{5}{12}) é uma raiz décima segunda primitiva?

  1. Sim, pois mdc(5,12)=1mdc(5{,}12)=1
  2. Não, pois 5 é ímpar
  3. Não, pois 12 é composto
  4. Sim, pois 5 divide 12
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Resposta: Sim, pois mdc(5,12)=1mdc(5{,}12)=1

Uma raiz ωₖ é primitiva quando k e n são coprimos. Como mdc(5,12)=1mdc(5{,}12)=1, suas potências percorrem todas as 12 raízes.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.