APOSTILA · EXPRESSÕES, DIVISÃO, RAÍZES E MODELOS

Conteúdo teórico de Polinômios

Uma trilha completa sobre linguagem polinomial, operações, divisão, raízes, multiplicidades, relações de Girard, transformações, equações recíprocas e aplicações.

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Como estudar esta apostila

Em cada problema, identifique primeiro o grau, os coeficientes e o conjunto numérico. Depois escolha a ferramenta: valor numérico para testar, divisão para fatorar, relações entre raízes para reconstruir ou gráfico para interpretar.

CAPÍTULO 1

Linguagem polinomial, grau e valor numérico

Polinômios organizam somas finitas de potências inteiras não negativas e descrevem modelos que variam de áreas a custos e trajetórias.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

Forma geral de um polinômio.

\deg P=\max\{k\mid a_k\ne0\}

Grau do polinômio não nulo.

P(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_0

Valor do polinômio em c.

Definição e elementos

Um polinômio na variável x tem a forma aₙxⁿ+⋯+ $a_{1}$ x+ $a_{0}$ , com expoentes inteiros não negativos. Os números aₖ são os coeficientes e $a_{0}$ é o termo independente.

O grau do polinômio não nulo é o maior expoente com coeficiente diferente de zero. O polinômio nulo exige uma convenção separada e não possui grau natural definido no ensino médio.

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

Forma geral de um polinômio.

\deg P=\max\{k\mid a_k\ne0\}

Grau do polinômio não nulo.

Valor numérico e função polinomial

Calcular $P(c)$ significa substituir x por c em todos os termos. O esquema de Horner reduz a quantidade de multiplicações ao reescrever o polinômio de forma encaixada.

Quando x representa uma grandeza real, $P(x)$ define uma função polinomial. É essencial interpretar o domínio físico: um modelo algébrico pode aceitar valores que não fazem sentido no contexto.

P(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_0

Valor do polinômio em c.

P(x)=(\cdots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots)x+a_0

Forma encaixada de Horner.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Coeficiente

Número que multiplica uma potência da variável.

Termo independente

Coeficiente de $x^{0}$ .

Grau

Maior expoente com coeficiente não nulo.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Unicidade dos coeficientes

Cada polinômio possui uma única lista de coeficientes quando termos de mesmo grau são reunidos.

EXEMPLO RESOLVIDO

Consumo de um equipamento

O consumo acumulado de um equipamento é modelado por $C(t)=2t^{3}-5t^{2}+12t+40$ . Calcule $C(3)$ .

Substitua t por 3.
Calcule 2·27-5·9+12·3+40.
Some os termos.

EXEMPLO RESOLVIDO

Identificação dos coeficientes

Para que $P(x)=(m-2)x^{3}+(n+1)x^{2}+5$ seja de grau 2 e tenha coeficiente líder 4, determine m e n.

Para eliminar $x^{3}$ , imponha m $-2=0$ .
O coeficiente de $x^{2}$ deve ser 4: $n+1=4$ .
Resolva as duas equações.

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CAPÍTULO 2

Igualdade, operações e propriedades do grau

Polinômios podem ser somados, subtraídos, multiplicados e compostos; o grau ajuda a prever a estrutura do resultado.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

P\equiv Q\Longleftrightarrow a_k=b_k\text{ para todo }k

Identidade polinomial.

(PQ)(x)=P(x)Q(x)

Produto de polinômios.

\deg(PQ)=\deg P+\deg Q

Grau de um produto não nulo.

Igualdade e operações

Dois polinômios são idênticos quando possuem os mesmos coeficientes em todas as potências. Uma igualdade válida para todo x é diferente de uma equação, que pode valer apenas para alguns valores.

Na soma, reunimos termos de mesmo grau. No produto, aplicamos a distributividade a todos os pares de termos e depois reduzimos os semelhantes.

P\equiv Q\Longleftrightarrow a_k=b_k\text{ para todo }k

Identidade polinomial.

(PQ)(x)=P(x)Q(x)

Produto de polinômios.

Grau da soma, do produto e da composição

O grau da soma não ultrapassa o maior grau das parcelas e pode diminuir quando os termos líderes se cancelam.

Em um corpo, o grau do produto é a soma dos graus. Na composição $P(Q(x)$ ), os graus são multiplicados quando ambos os polinômios são não constantes.

\deg(PQ)=\deg P+\deg Q

Grau de um produto não nulo.

\deg(P\circ Q)=\deg P\cdot\deg Q

Grau da composição para polinômios não constantes.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Identidade polinomial

Igualdade válida para todo valor da variável.

Coeficiente líder

Coeficiente do termo de maior grau.

Composição

Polinômio obtido ao substituir a variável de P por $Q(x)$ .

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Grau do produto

Para P e Q não nulos, $deg(PQ)=$ degP+degQ.

EXEMPLO RESOLVIDO

Área de uma moldura

Uma placa retangular mede (x+4) por (x+2), e um recorte retangular mede x por (x-1). Qual polinômio representa a área restante?

Expanda a área externa: (x+4) $(x+2)=x^{2}+6x+8$ .
Expanda o recorte: $x(x-1)=x^{2}-x$ .
Subtraia a área do recorte.

EXEMPLO RESOLVIDO

Descoberta por identidade

Determine a e b para que (x+2) $(x+a)=x^{2}+5x+b$ para todo x.

Expanda: $x^{2}$ +(a+2)x+2a.
Compare $a+2=5$ .
Calcule a e depois $b=2a$ .

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CAPÍTULO 3

Divisão euclidiana de polinômios

A divisão polinomial separa um dividendo em produto de divisor por quociente mais um resto de grau menor.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

P(x)=D(x)Q(x)+R(x),\quad \deg R<\deg D

Algoritmo da divisão.

D\mid P\Longleftrightarrow R(x)\equiv0

Critério de divisibilidade polinomial.

Algoritmo da divisão

Dados P e D não nulo, existem únicos Q e R tais que $P=DQ+R$ , com $R=0$ ou grau de R menor que o grau de D.

Na divisão em chave, ordene os termos, complete graus ausentes com coeficiente zero e cancele sucessivamente o termo de maior grau do resto parcial.

P(x)=D(x)Q(x)+R(x),\quad \deg R<\deg D

Algoritmo da divisão.

Divisibilidade e fatoração

D divide P quando o resto é zero. Nesse caso, Q é outro fator de P e a fatoração pode continuar até fatores mais simples.

Verificar graus e multiplicar DQ+R ao final são controles eficientes contra erros de sinal ou de coeficiente.

D\mid P\Longleftrightarrow R(x)\equiv0

Critério de divisibilidade polinomial.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Dividendo

Polinômio P que será dividido.

Quociente

Polinômio Q produzido pela divisão.

Resto

Polinômio R cujo grau é menor que o do divisor.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Divisão euclidiana

O quociente e o resto da divisão de P por D não nulo existem e são únicos.

EXEMPLO RESOLVIDO

Validação de um modelo

Divida $P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6$ por $D(x)$ =x+1.

Divida $x^{3}$ por x para obter $x^{2}$ .
Continue cancelando os maiores graus.
Obtenha $Q=x^{2}+x-6$ e verifique o resto.

EXEMPLO RESOLVIDO

Resto linear

Ao dividir $2x^{4}$ -x+3 por $x^{2}$ +1, determine o quociente e o resto.

O primeiro termo do quociente é $2x^{2}$ .
Subtraia $2x^{2}$ ( $x^{2}$ +1), restando $-2x^{2}$ -x+3.
Acrescente -2 ao quociente e subtraia -2( $x^{2}$ +1).

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CAPÍTULO 4

Teoremas do resto e do fator

Dividir por um binômio x-a é um caso especial: o resto pode ser encontrado por uma única substituição.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)

Divisão por x-a.

P(a)=0\Longleftrightarrow(x-a)\mid P(x)

Teorema do fator.

Teorema do resto

Na divisão de $P(x)$ por x-a, o resto é constante. Substituir $x=a na$ identidade P=(x-a)Q+r elimina o produto e mostra que $r=P(a)$ .

Esse resultado também serve para descobrir parâmetros sem executar a divisão completa.

P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)

Divisão por x-a.

Teorema do fator e Briot-Ruffini

Se $P(a)=0$ , o resto é zero e x-a divide P. Assim, testar uma raiz equivale a testar um fator linear.

O dispositivo de Briot-Ruffini organiza os coeficientes para realizar rapidamente a divisão por x-a e pode ser repetido para investigar multiplicidades.

P(a)=0\Longleftrightarrow(x-a)\mid P(x)

Teorema do fator.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Raiz ou zero

Número a que satisfaz $P(a)=0$ .

Fator linear

Binômio x-a associado à raiz a.

Briot-Ruffini

Esquema de divisão sintética por x-a.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Teorema do fator

a é raiz de P se, e somente se, x-a é fator de P.

EXEMPLO RESOLVIDO

Controle de qualidade

Um índice é $P(t)=t^{3}-4t^{2}+t+6$ . Sem dividir, verifique se $t=2$ zera o índice.

Calcule $P(2)$ .
$P(2)=8-16+2+6$ .
Interprete o resultado pelo teorema do fator.

EXEMPLO RESOLVIDO

Parâmetro pelo resto

O resto da divisão de $P(x)=x^{3}+kx+5$ por x-2 deve ser 15. Determine k.

Pelo teorema do resto, $P(2)=15$ .
Escreva $8+2k+5=15$ .
Resolva $2k=2$ .

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CAPÍTULO 5

Equações polinomiais e Teorema Fundamental da Álgebra

Resolver uma equação polinomial significa localizar seus zeros e compreender como eles determinam a fatoração.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

P(x)=a_n\prod_{j=1}^{n}(x-r_j)

Fatoração completa em C, contando multiplicidades.

(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax+(a^2+b^2)

Fator quadrático real de um par conjugado.

Número de raízes e fatoração complexa

Um polinômio não nulo de grau n possui no máximo n raízes distintas. No conjunto complexo, possui exatamente n raízes quando contamos multiplicidades.

Isso permite escrever P como o coeficiente líder multiplicado pelos fatores lineares associados às raízes.

P(x)=a_n\prod_{j=1}^{n}(x-r_j)

Fatoração completa em C, contando multiplicidades.

Raízes conjugadas

Se os coeficientes são reais, toda raiz complexa não real aparece com seu conjugado. O produto dos fatores conjugados gera um fator quadrático real.

O discriminante resolve equações quadráticas e já revela os três cenários: duas raízes reais, uma raiz real dupla ou um par complexo conjugado.

(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax+(a^2+b^2)

Fator quadrático real de um par conjugado.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Equação polinomial

Igualdade $P(x)=0$ .

Teorema Fundamental da Álgebra

Garantia de uma raiz complexa para todo polinômio não constante e, por repetição, de n raízes com multiplicidade.

Fator conjugado

Fator linear associado ao conjugado de uma raiz não real.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio complexo não constante possui ao menos uma raiz complexa.

EXEMPLO RESOLVIDO

Reconstrução de um polinômio real

Construa o polinômio real mônico de menor grau que tem 1+2i e -3 como raízes.

Inclua a raiz conjugada 1-2i.
Forme (x+3)[ $(x-1)^{2}$ +4].
Expanda se desejar a forma desenvolvida.

EXEMPLO RESOLVIDO

Quantidade de soluções

Um polinômio de grau 8 já possui sete raízes listadas com multiplicidade. Quantas faltam em C?

Aplique o Teorema Fundamental da Álgebra.
O total, com multiplicidade, deve ser 8.
Subtraia as sete já registradas.

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CAPÍTULO 6

Multiplicidade, sinal e comportamento gráfico

A multiplicidade de uma raiz controla como o gráfico encontra o eixo horizontal e como o sinal do polinômio muda.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

P(x)=(x-a)^mQ(x),\quad Q(a)\ne0

Definição de multiplicidade m.

P(x)\sim a_nx^n\quad\text{quando }|x|\to\infty

O termo líder controla os extremos.

Raízes simples e múltiplas

A raiz a tem multiplicidade m quando (x-a)ᵐ divide P, mas (x-a)ᵐ⁺¹ não divide. Uma raiz simples tem multiplicidade 1.

Raízes de multiplicidade ímpar provocam troca de sinal; em raízes de multiplicidade par, o sinal permanece o mesmo dos dois lados.

P(x)=(x-a)^mQ(x),\quad Q(a)\ne0

Definição de multiplicidade m.

Extremos e tabela de sinais

O grau e o sinal do coeficiente líder determinam o comportamento quando x tende a mais ou menos infinito. Graus pares têm extremos na mesma direção; graus ímpares, em direções opostas.

Para construir uma tabela de sinais, ordene as raízes reais, registre suas multiplicidades e determine o sinal em um intervalo de teste.

P(x)\sim a_nx^n\quad\text{quando }|x|\to\infty

O termo líder controla os extremos.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Multiplicidade

Quantidade de vezes que o fator x-a aparece na fatoração.

Raiz tangencial

Raiz de multiplicidade par em que o gráfico toca o eixo e retorna.

Termo líder

Termo de maior grau do polinômio.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Mudança de sinal

Ao atravessar uma raiz real, o sinal de P muda se, e somente se, a multiplicidade é ímpar.

EXEMPLO RESOLVIDO

Leitura de uma curva de produção

Um saldo operacional é $S(t)=(t-2)^{2}(t-5)$ . Em quais instantes o gráfico toca ou atravessa o eixo?

A raiz 2 tem multiplicidade 2, que é par.
A raiz 5 tem multiplicidade 1, que é ímpar.
Associe par a toque e ímpar a travessia.

EXEMPLO RESOLVIDO

Sinal em um intervalo

Determine o sinal de $P(x)=-(x+1)(x-3)^{2}$ para x>3.

Para $x>3, x+1$ é positivo.
O quadrado $(x-3)^{2}$ é positivo.
O sinal inicial negativo inverte o produto.

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CAPÍTULO 7

Relações de Girard e reconstrução

As relações entre coeficientes e raízes permitem calcular somas e produtos sem resolver completamente a equação.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

r_1+r_2=-\frac ba,\quad r_1r_2=\frac ca

Relações de Girard para o segundo grau.

r_1+r_2+r_3=-\frac ba,\quad r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=\frac ca,\quad r_1r_2r_3=-\frac da

Relações para ax³+bx²+cx+d.

r_1^2+r_2^2=(r_1+r_2)^2-2r_1r_2

Uso das relações sem calcular as raízes.

Relações para graus 2 e 3

Em $ax^{2}+bx+c=0$ , a soma das raízes é - $\frac{b}{a}$ e o produto é $\frac{c}{a}$ . Essas igualdades vêm da comparação entre $a(x-r_{1})$ (x- $r_{2}$ ) e a forma desenvolvida.

No grau 3, aparecem a soma das raízes, a soma dos produtos tomados dois a dois e o produto das três raízes, com sinais alternados.

r_1+r_2=-\frac ba,\quad r_1r_2=\frac ca

Relações de Girard para o segundo grau.

r_1+r_2+r_3=-\frac ba,\quad r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=\frac ca,\quad r_1r_2r_3=-\frac da

Relações para ax³+bx²+cx+d.

Polinômio a partir das raízes

Conhecidas as raízes e o coeficiente líder, o polinômio é determinado pela fatoração. Se apenas algumas relações são conhecidas, Girard transforma o problema em um sistema simétrico.

Expressões simétricas nas raízes podem ser reduzidas por identidades como $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-2r_{1}r_{2}$ .

r_1^2+r_2^2=(r_1+r_2)^2-2r_1r_2

Uso das relações sem calcular as raízes.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Soma simétrica

Expressão que não muda quando as raízes trocam de ordem.

Polinômio mônico

Polinômio cujo coeficiente líder é 1.

Relações de Girard

Igualdades entre coeficientes e somas simétricas das raízes.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Girard

Os coeficientes de um polinômio determinam as somas elementares de seus zeros, com sinais alternados.

EXEMPLO RESOLVIDO

Indicadores de duas fases

As raízes de $2x^{2}$ $-10x+8=0$ representam dois tempos de ajuste. Calcule a soma e o produto sem resolver a equação.

Use $r_{1}+r_{2}=-\frac{b}{a}$ .
Use $r_{1}r_{2}=\frac{c}{a}$ .
Substitua $a=2, b=-10$ e $c=8$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Quadrados das raízes

Se $r_{1}$ e $r_{2}$ são raízes de $x^{2}$ $-6x+5=0$ , calcule $r_{1}^{2}$ $+r_{2}^{2}$ .

Por Girard, $r_{1}+r_{2}=6$ e $r_{1}r_{2}=5$ .
Use $(r_{1}+r_{2})^{2}$ -2 $r_{1}$ $r_{2}$ .
Calcule 36-10.

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CAPÍTULO 8

Raízes racionais, reais e estimativas

Critérios aritméticos e análises de sinal reduzem a busca por raízes antes de qualquer método numérico.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\frac pq\text{ raiz}\Longrightarrow p\mid a_0\ \text{e}\ q\mid a_n

Teorema das raízes racionais.

P(a)P(b)<0\Longrightarrow\exists c\in(a,b):P(c)=0

Existência de raiz por continuidade.

Teorema das raízes racionais

Se um polinômio de coeficientes inteiros possui uma raiz racional $\frac{p}{q}$ na forma irredutível, p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder.

O teorema produz candidatos, não uma garantia. Cada candidato precisa ser testado por substituição ou Ruffini.

\frac pq\text{ raiz}\Longrightarrow p\mid a_0\ \text{e}\ q\mid a_n

Teorema das raízes racionais.

Existência e localização de raízes reais

Como funções polinomiais são contínuas, uma troca de sinal entre $P(a)$ e $P(b)$ garante ao menos uma raiz real no intervalo (a,b).

A regra de sinais de Descartes fornece limites para a quantidade de raízes positivas e, aplicada a $P(-x)$ , para as negativas. Métodos de bisseção refinam intervalos quando não há forma exata simples.

P(a)P(b)<0\Longrightarrow\exists c\in(a,b):P(c)=0

Existência de raiz por continuidade.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Candidato racional

Fração $\frac{p}{q}$ permitida pelo teorema das raízes racionais.

Mudança de sinal

Situação em que P assume sinais opostos nos extremos de um intervalo.

Bisseção

Método que reduz um intervalo com troca de sinal pela metade repetidamente.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Teorema do valor intermediário

Se P é contínuo e $P(a)$ $P(b)<0$ , então P possui ao menos uma raiz entre a e b.

EXEMPLO RESOLVIDO

Candidatos de uma calibração

Liste os candidatos racionais para $2x^{3}$ $-3x^{2}$ $-8x+12=0$ .

Os divisores do termo independente são ±1,±2,±3,±4,±6,±12.
Os divisores do coeficiente líder são ±1,±2.
Forme $\frac{p}{q}$ sem repetir frações equivalentes.

EXEMPLO RESOLVIDO

Localização de uma raiz

Mostre que $P(x)=x^{3}-x-1$ possui uma raiz entre 1 e 2.

Calcule $P(1)=1-1-1=-1$ .
Calcule $P(2)=8-2-1=5$ .
Observe a troca de sinal e use a continuidade.

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CAPÍTULO 9

Transformações e equações recíprocas

Mudanças de variável podem deslocar, escalar ou revelar simetrias ocultas em uma equação polinomial.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

Q(y)=P(y+h)

Translação horizontal das raízes.

x=y-\frac{a_{n-1}}{na_n}

Translação que elimina o termo de grau n-1.

x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2

Identidade usada na redução recíproca.

Translações e escalas da variável

A substituição $x=y+h$ desloca as raízes: se y=r resolve a equação transformada, então $x=r+h$ resolve a original. Uma escolha adequada de h pode eliminar o termo de grau n-1.

Substituições como $x=ky$ também normalizam coeficientes e simplificam comparações entre modelos.

Q(y)=P(y+h)

Translação horizontal das raízes.

x=y-\frac{a_{n-1}}{na_n}

Translação que elimina o termo de grau n-1.

Equações recíprocas

Uma equação recíproca possui coeficientes simétricos ou antissimétricos. Se r não nulo é raiz, frequentemente $\frac{1}{r}$ também é raiz.

Em graus pares, dividir pela potência central e usar $y=x+\frac{1}{x}$ reduz a equação a um grau menor.

x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2

Identidade usada na redução recíproca.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Transformação de variável

Substituição que produz uma equação equivalente mais simples.

Equação recíproca

Equação cujos coeficientes apresentam simetria em relação às extremidades.

Raízes recíprocas

Par r e $\frac{1}{r}$ .

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Simetria recíproca

Em um polinômio palindrômico P de grau n, xⁿ $P(\frac{1}{x})=P(x)$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Redução de grau

Resolva $x^{4}$ $-5x^{3}$ $+6x^{2}$ $-5x+1=0$ usando y=x+ $\frac{1}{x}$ .

Como $x=0$ não é raiz, divida por $x^{2}$ .
Obtenha ( $x^{2}$ + $\frac{1}{x}$ ²) $-5(x+\frac{1}{x})+6=0$ .
Substitua $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}-2$ e resolva $y^{2}$ $-5y+4=0$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Deslocamento de uma curva

As raízes de $P(x)$ são 2 e 5. Quais são as raízes de $Q(y)=P(y+3)$ ?

$Q(y)=0$ quando $P(y+3)$ =0.
Resolva $y+3=2$ ou $y+3=5$ .
Subtraia 3 de cada raiz original.

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CAPÍTULO 10

Derivada, raízes comuns e aplicações

A derivada formal detecta raízes múltiplas, o algoritmo de Euclides encontra fatores comuns e a interpolação constrói modelos a partir de dados.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

P'(x)=\sum_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1}

Derivada formal de um polinômio.

a\text{ múltipla}\Longrightarrow P(a)=P'(a)=0

Teste de raiz múltipla.

\operatorname{mdc}(P,Q)=\operatorname{mdc}(Q,R)\quad\text{se }P=QS+R

Algoritmo de Euclides polinomial.

Derivada e raízes múltiplas

A derivada de P é obtida termo a termo. Uma raiz a é múltipla quando $P(a)=0$ e P' $(a)=0$ ; multiplicidades maiores exigem mais derivadas anuladas.

O máximo divisor comum entre P e P' reúne exatamente os fatores associados às repetições, com uma unidade a menos em cada multiplicidade.

P'(x)=\sum_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1}

Derivada formal de um polinômio.

a\text{ múltipla}\Longrightarrow P(a)=P'(a)=0

Teste de raiz múltipla.

MDC, raízes comuns e interpolação

O algoritmo de Euclides para polinômios repete divisões sucessivas; o último resto não nulo, normalizado, é o MDC. Raízes comuns são raízes desse MDC.

Dados n+1 pontos com abscissas distintas, existe um único polinômio de grau no máximo n que passa por eles. A forma de Lagrange constrói esse modelo diretamente.

\operatorname{mdc}(P,Q)=\operatorname{mdc}(Q,R)\quad\text{se }P=QS+R

Algoritmo de Euclides polinomial.

P(x)=\sum_{j=0}^{n}y_j\prod_{m\ne j}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}

Interpolação de Lagrange.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Derivada formal

Polinômio obtido pela regra (aₖxᵏ)'=kaₖxᵏ⁻¹.

MDC polinomial

Fator comum de maior grau, definido a menos de constante não nula.

Interpolação

Construção de um polinômio que assume valores prescritos em pontos distintos.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Unicidade da interpolação

Por n+1 pontos com abscissas distintas passa um único polinômio de grau no máximo n.

EXEMPLO RESOLVIDO

Falha repetida em um modelo

Verifique a multiplicidade da raiz $x=2$ em $P(x)$ = $x^{3}$ $-6x^{2}$ +12x-8.

Reconheça $P(x)=(x-2)^{3}$ ou faça divisões sucessivas.
Calcule P' $(x)=3x^{2}-12x+12$ e P' $(2)=0$ .
Calcule P'' $(x)=6x-12$ e P'' $(2)=0$ , mas P''' $(2)=6$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Estimativa por três medições

Uma produção diária satisfaz $P(0)=2, P(1)=5$ e $P(2)=10$ e é modelada por um polinômio quadrático. Determine $P(x)$ .

Escreva $P(x)=ax^{2}+bx+c$ .
De $P(0)=2$ , obtenha $c=2$ .
Use $a+b=3$ e $4a+2b=8$ para encontrar a e b.

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DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Usar o Teorema do Fator para construir uma equação a partir de suas raízes.

Antes de começar: Produtos notáveis e propriedade do produto nulo.

Uma situação para resolver

Um polinômio de grau 2 tem coeficiente líder 1 e raízes 2 e −3. Qual é sua forma expandida?

Uma raiz r corresponde ao fator x−r. Assim, $P(x)=(x-2)(x+3)$ .
Distribua os produtos: $x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6$ .
Verifique: $P(2)=4+2-6=0$ e $P(-3)=9-3-6=0$ .

Conclusão: $P(x)=x^{2}+x-6$ .

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