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Exercícios resolvidos de Polinômios

Estude operações, raízes, fatoração, divisão e comportamento de funções polinomiais. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Usar o Teorema do Fator para construir uma equação a partir de suas raízes.

Antes de começar: Produtos notáveis e propriedade do produto nulo.

Uma situação para resolver

Um polinômio de grau 2 tem coeficiente líder 1 e raízes 2 e −3. Qual é sua forma expandida?

  1. Uma raiz r corresponde ao fator x−r. Assim, P(x)=(x−2)(x+3)P(x)=(x-2)(x+3).
  2. Distribua os produtos: x2+3x−2x−6=x2+x−6x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6.
  3. Verifique: P(2)=4+2−6=0P(2)=4+2-6=0 e P(−3)=9−3−6=0P(-3)=9-3-6=0.

Conclusão: P(x)=x2+x−6P(x)=x^{2}+x-6.

Linguagem polinomial

Questão 1

Fácil

Qual é o grau de P(x)=7−3x2+5x5P(x)=7-3x^{2}+5x^{5}?

  1. 2
  2. 3
  3. 5
  4. 7
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Resposta: 5

O maior expoente com coeficiente não nulo é 5.

Questão 2

Médio

Se P(x)=2x3−x+4P(x)=2x^{3}-x+4, quanto vale P(−1)P(-1)?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
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Resposta: 3

P(−1)=2(−1)3−(−1)+4=−2+1+4=3P(-1)=2(-1)^{3}-(-1)+4=-2+1+4=3.

Questão 3

Fácil

O custo de um lote é C(n)=0,5n2+8n+120C(n)=0{,}5n^{2}+8n+120. Qual é o custo para n=20n=20 unidades?

  1. R$ 320
  2. R$ 400
  3. R$ 480
  4. R$ 520
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Resposta: R$ 480

C(20)=0,5⋅400+8⋅20+120=200+160+120=480C(20)=0{,}5\cdot 400+8\cdot 20+120=200+160+120=480.

Igualdade e operações

Questão 1

Fácil

Qual é o produto (x+3)(x−3)?

  1. x2x^{2}−9
  2. x2x^{2}+9
  3. x2x^{2}−6x+9
  4. x2x^{2}+6x+9
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Resposta: x2x^{2}−9

Aplicamos o produto da soma pela diferença.

Questão 2

Difícil

Qual é o coeficiente de x2x^{2} em (2x−1)(x2x^{2}+3x+4)?

  1. −1
  2. 2
  3. 5
  4. 6
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Resposta: 5

Os termos em x2x^{2} são 6x2−x2=5x26x^{2}-x^{2}=5x^{2}.

Questão 3

Fácil

Uma moldura quadrada tem lado externo x+3 e recorte interno de lado x. Qual polinômio representa sua área?

  1. 3x+9
  2. 6x+9
  3. x2x^{2}+9
  4. 6x26x^{2}+9
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Resposta: 6x+9

A área é (x+3)2(x+3)^{2}−x2=x2+6x+9−x2=6x+9-x^{2}=x^{2}+6x+9-x^{2}=6x+9.

Teoremas do resto e do fator

Questão 1

Médio

Qual é o resto da divisão de P(x)=x3−2x+5P(x)=x^{3}-2x+5 por x−2?

  1. 1
  2. 5
  3. 8
  4. 9
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Resposta: 9

P(2)=8−4+5=9P(2)=8-4+5=9.

Questão 2

Fácil

Qual fator corresponde à raiz x=−4x=-4?

  1. x−4
  2. x+4
  3. 4x−1
  4. x2x^{2}−4
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Resposta: x+4

A raiz a corresponde ao fator x−a; para a=−4,x+4a=-4, x+4.

Questão 3

Médio

Um teste usa P(t)=t3−2t+5P(t)=t^{3}-2t+5. Qual é o resto da divisão de P(t)P(t) por t-3?

  1. 20
  2. 24
  3. 26
  4. 32
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Resposta: 26

Pelo teorema do resto, calculamos P(3)=27−6+5=26P(3)=27-6+5=26.

Relações de Girard

Questão 1

Difícil

Se as raízes de x2x^{2}−7x+k são 3 e 4, então k vale:

  1. 7
  2. 10
  3. 12
  4. 21
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Resposta: 12

O produto das raízes é k: 3⋅4=123\cdot 4=12.

Questão 2

Fácil

Dois tempos de resposta são raízes de x2x^{2}−9x+14=0-9x+14=0. Se um deles é 2, qual é o outro?

  1. 5
  2. 7
  3. 9
  4. 12
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Resposta: 7

Pela soma de Girard, as raízes somam 9. Logo, a outra é 9−2=7-2=7.

Multiplicidade e gráficos

Questão 1

Médio

O gráfico de P(x)=(x−2)2(x+1)P(x)=(x-2)^{2}(x+1) atravessa o eixo x em:

  1. x=2x=2 apenas
  2. x=−1x=-1 apenas
  3. x=2x=2 e x=−1x=-1
  4. Nenhuma raiz
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Resposta: x=−1x=-1 apenas

Em x=2x=2 a multiplicidade é par e o gráfico toca; em x=−1x=-1 a multiplicidade é ímpar e atravessa.

Questão 2

Médio

O saldo S(t)=(t−1)2(t−4)3S(t)=(t-1)^{2}(t-4)^{3} zera em t=1 e t=4t=4. Em qual instante o gráfico atravessa o eixo?

  1. Somente t=1t=1
  2. Somente t=4t=4
  3. Em ambos
  4. Em nenhum
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Resposta: Somente t=4t=4

A multiplicidade 2 em t=1t=1 é par e produz toque; a multiplicidade 3 em t=4t=4 é ímpar e produz travessia.

Divisão euclidiana

Questão 1

Médio

Na divisão de P(x)=x3+2x2+4x+1P(x)=x^{3}+2x^{2}+4x+1 por D(x)D(x)=x2x^{2}+1, qual é o quociente e o resto?

  1. Q=x+2Q=x+2; R=3x−1R=3x-1
  2. Q=x+1Q=x+1; R=3xR=3x
  3. Q=x+2Q=x+2; R=x+1R=x+1
  4. Q=x2+2Q=x^{2}+2; R=4x+1R=4x+1
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Resposta: Q=x+2Q=x+2; R=3x−1R=3x-1

(x2x^{2}+1)(x+2)+(3x−1)=x3+2x2+x+2+3x−1=P(x)(x+2)+(3x-1)=x^{3}+2x^{2}+x+2+3x-1=P(x).

Questão 2

Difícil

Um algoritmo registra P(x)=2x4+x2+4x+2P(x)=2x^{4}+x^{2}+4x+2. Ao dividir por x2x^{2}-1, qual resto deve reportar?

  1. x+2
  2. 2x+4
  3. 4x+5
  4. x2x^{2}+1
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Resposta: 4x+5

P=(x2−1)(2x2+3)+(4x+5),P=(x^{2}-1)(2x^{2}+3)+(4x+5), e o resto tem grau 1, menor que o divisor.

Equações e Teorema Fundamental

Questão 1

Difícil

Qual é o polinômio real mônico de menor grau que possui -2 e 1+i como raízes?

  1. x3x^{3}-2x+4
  2. x3x^{3}+2x2+2x^{2}+2
  3. x3x^{3}-2x-4
  4. x2x^{2}+x+2
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Resposta: x3x^{3}-2x+4

Também devemos incluir 1-i. Assim, (x+2)[(x−1)2(x-1)^{2}+1]=(x+2)(x2−2x+2)=x3−2x+4(x^{2}-2x+2)=x^{3}-2x+4.

Questão 2

Fácil

Um modelo polinomial de grau 7 é analisado no conjunto dos complexos. Quantas raízes ele possui contando multiplicidades?

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 14
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Resposta: 7

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o número de raízes com multiplicidade coincide com o grau.

Raízes racionais e reais

Questão 1

Médio

Qual dos valores abaixo é raiz de 2x32x^{3}−3x2-3x^{2}-8x+12?

  1. -1
  2. 1
  3. 2
  4. 3
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Resposta: 2

Substituindo x=2:16−12−16+12=0x=2: 16-12-16+12=0. Portanto, 2 é raiz.

Questão 2

Médio

Para P(x)=x3−4x−1P(x)=x^{3}-4x-1, em qual intervalo a troca de sinal garante uma raiz real?

  1. (0,1)
  2. (1,3)
  3. (3,4)
  4. (4,5)
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Resposta: (1,3)

P(1)=−4P(1)=-4 e P(3)=14P(3)=14. Como P é contínuo e os sinais são opostos, existe uma raiz em (1,3).

Transformações e recíprocas

Questão 1

Médio

As raízes de P(x)P(x) são -1 e 3. Quais são as raízes de Q(y)=P(y+4)Q(y)=P(y+4)?

  1. -5 e -1
  2. 3 e 7
  3. -4 e 4
  4. 1 e 5
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Resposta: -5 e -1

Q(y)=0Q(y)=0 quando y+4=-1 ou y+4=3y+4=3. Portanto, y=−5y=-5 ou y=−1y=-1.

Questão 2

Difícil

Em um polinômio recíproco, 2+3\sqrt{3} é raiz. Qual raiz deve acompanhá-la pela simetria recíproca?

  1. 2-3\sqrt{3}
  2. -2+3\sqrt{3}
  3. 1/(2-3\sqrt{3})
  4. -2-3\sqrt{3}
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Resposta: 2-3\sqrt{3}

A raiz companheira é 1/(2+3\sqrt{3}). Racionalizando, 12+3=2−3\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}.

Derivada, raízes comuns e interpolação

Questão 1

Médio

Qual é a multiplicidade da raiz x=1x=1 em P(x)P(x)=x3x^{3}−3x2-3x^{2}+3x-1?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
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Resposta: 3

P(x)=(x−1)3P(x)=(x-1)^{3}. Equivalentemente, P, P' e P'' anulam-se em 1, mas P''' não.

Questão 2

Difícil

Uma produção é modelada por um polinômio quadrático P com P(0)=3,P(1)=6P(0)=3, P(1)=6 e P(2)=11P(2)=11. Qual é P(x)P(x)?

  1. x2x^{2}+2x+3
  2. 2x22x^{2}+x+3
  3. x2x^{2}+3x+2
  4. 3x23x^{2}+2x+1
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Resposta: x2x^{2}+2x+3

Escrevendo ax2ax^{2}+bx+c, obtemos c=3,a+b=3c=3, a+b=3 e 4a+2b=84a+2b=8. Logo, a=1a=1 e b=2b=2.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Polinômios. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.