APOSTILA · SEQUÊNCIAS, PA E PG

Conteúdo teórico de Progressões

Uma trilha completa sobre sequências, progressões aritméticas, propriedades de termos equidistantes, somas, progressões de segunda ordem, progressões geométricas e séries infinitas.

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Como estudar esta apostila

Escreva os primeiros termos, identifique se a mudança é aditiva ou multiplicativa e só então escolha a fórmula. Em somas, determine primeiro o número de termos e confirme se a série é finita ou convergente.

CAPÍTULO 1

Sequências e leis de formação

Uma sequência organiza números em posições. O índice faz parte da informação: dois termos com o mesmo valor podem desempenhar papéis diferentes quando ocupam posições distintas.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots)

Notação de uma sequência.

a_n=f(n)

Lei explícita.

a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},\ldots)

Lei recursiva.

Termos, índices e representações

Uma sequência finita possui último termo; uma sequência infinita prossegue indefinidamente. A notação aₙ representa o termo que ocupa a posição n.

Uma lei explícita calcula aₙ diretamente a partir de n. Uma lei recursiva usa um ou mais termos anteriores e precisa informar valores iniciais.

(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots)

Notação de uma sequência.

a_n=f(n)

Lei explícita.

a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},\ldots)

Lei recursiva.

Reconhecimento de padrões

Diferenças sucessivas ajudam a reconhecer comportamento aditivo; razões entre termos ajudam a reconhecer comportamento multiplicativo. Um padrão observado sugere uma fórmula, mas é preciso verificá-la.

Uma lista curta pode admitir várias leis de formação. O contexto ou uma regra adicional é necessário para determinar uma sequência de modo único.

Calcule diferenças entre termos consecutivos.
Quando possível, calcule razões.
Observe alternância, periodicidade e posição.
Teste a fórmula em mais de um termo.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Sequência

Função cujo domínio é um subconjunto ordenado dos números naturais.

Termo

Valor associado a uma posição específica da sequência.

Recorrência

Regra que define termos usando valores anteriores.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Necessidade de dados iniciais

Uma recorrência de ordem k precisa, em geral, de k termos iniciais para determinar a sequência.

EXEMPLO RESOLVIDO

Lei explícita

A sequência é definida por aₙ= $n^{2}$ +n. Determine os quatro primeiros termos e $a_{10}$ .

Substitua n por 1, 2, 3 e 4.
Obtenha 2, 6, 12 e 20.
Para $n=10$ , calcule $10^{2}$ +10.

EXEMPLO RESOLVIDO

Lei recursiva

Se $a_{1}=2, a_{2}=3$ e aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂ para $n\ge 3$ , determine $a_{5}$ .

$a_{3}=3+2=5$ .
$a_{4}=5+3=8$ .
$a_{5}=8+5$ .

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CAPÍTULO 2

Progressão aritmética: razão e classificação

Em uma progressão aritmética, cada termo é obtido somando a mesma constante ao termo anterior. Essa variação constante produz um modelo linear.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

a_n=a_{n-1}+r

Definição recursiva da PA.

r=a_n-a_{n-1}

Cálculo da razão.

a_n=a_1+(n-1)r

Termo geral da PA.

Definição e razão

A razão r é a diferença entre qualquer termo e seu antecessor. Se as diferenças não forem constantes, a sequência não é uma PA de primeira ordem.

A PA é crescente quando $r>0$ , decrescente quando $r<0$ e constante quando $r=0$ . Essa classificação independe do sinal dos próprios termos.

a_n=a_{n-1}+r

Definição recursiva da PA.

r=a_n-a_{n-1}

Cálculo da razão.

Termo geral

Do primeiro ao enésimo termo ocorrem n−1 saltos de tamanho r. Somando todos, obtém-se a fórmula do termo geral.

Conhecendo dois termos aₚ e a_q, a diferença entre eles é (q−p)r. Essa forma evita reconstruir toda a sequência.

a_n=a_1+(n-1)r

Termo geral da PA.

a_q-a_p=(q-p)r

Relação entre duas posições.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Progressão aritmética

Sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante.

Razão da PA

Constante r somada de um termo para obter o seguinte.

Termo geral

Expressão que calcula diretamente o termo de posição n.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Caracterização linear

Uma sequência é PA se, e somente se, pode ser escrita na forma aₙ=rn+( $a_{1}$ −r).

EXEMPLO RESOLVIDO

Termo distante

Determine $a_{18}$ na PA 11, 7, 3, …

A razão é $7-11=-4$ .
Use $a_{18}=11+(18-1)(-4)$ .
Calcule 11−68.

EXEMPLO RESOLVIDO

Número de termos

Quantos termos possui a PA finita 5, 9, 13, …, 101?

A razão é 4.
Use $101=5+(n-1)4$ .
Resolva $96=4(n-1)$ .

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CAPÍTULO 3

Propriedades da PA e interpolação

A linearidade da PA cria simetrias entre termos equidistantes. Essas propriedades resolvem problemas sem exigir o cálculo do primeiro termo e da razão separadamente.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}

Propriedade da média aritmética.

a_{k-d}+a_{k+d}=2a_k

Termos equidistantes de aₖ.

r=\frac{B-A}{m+1}

Razão ao inserir m meios aritméticos entre A e B.

Média e termos equidistantes

Todo termo interno de uma PA é a média aritmética de seus vizinhos. Mais geralmente, termos à mesma distância de uma posição central têm soma igual ao dobro do termo central.

Em uma PA finita, pares equidistantes dos extremos têm a mesma soma: $a_{1}$ +aₙ= $a_{2}$ +aₙ₋₁ e assim por diante.

2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}

Propriedade da média aritmética.

a_{k-d}+a_{k+d}=2a_k

Termos equidistantes de aₖ.

Interpolação aritmética

Interpolar meios aritméticos entre A e B significa construir uma PA que comece em A, termine em B e contenha a quantidade pedida de termos intermediários.

Se são inseridos m meios, existem m+1 intervalos iguais entre os extremos. A razão é, portanto, (B−A)/(m+1).

r=\frac{B-A}{m+1}

Razão ao inserir m meios aritméticos entre A e B.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Termo central

Termo que ocupa a posição média de uma PA finita com quantidade ímpar de termos.

Termos equidistantes

Termos separados pelo mesmo número de posições em relação a uma referência.

Meios aritméticos

Termos inseridos entre dois extremos para formar uma PA.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Simetria da PA

Se $p+q=r+s$ , então aₚ+a_ $q=aᵣ+a_s$ em qualquer PA.

EXEMPLO RESOLVIDO

Termos equidistantes

Em uma PA, $a_{5}=18$ . Quanto vale $a_{3}$ + $a_{7}$ ?

As posições 3 e 7 estão à mesma distância de 5.
A soma de termos equidistantes é o dobro do termo central.
Calcule 2·18.

EXEMPLO RESOLVIDO

Inserção de meios

Insira três meios aritméticos entre 7 e 27.

Três meios criam quatro intervalos.
A razão é $\frac{27-7}{4}=5$ .
Some 5 sucessivamente a partir de 7.

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CAPÍTULO 4

Soma dos termos da PA

Parear termos equidistantes transforma uma soma longa em um cálculo curto. Cada par possui a mesma soma dos extremos.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

Soma dos n primeiros termos da PA.

S_n=\frac{n\,[2a_1+(n-1)r]}{2}

Forma que dispensa o cálculo separado de aₙ.

Dedução da fórmula

Escreva a soma uma vez na ordem direta e outra na ordem inversa. Ao somar coluna a coluna, cada resultado é $a_{1}$ +aₙ e existem n colunas.

Como foram somadas duas cópias de Sₙ, divide-se o produto final por 2. A fórmula vale para PA crescente, decrescente ou constante.

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

Soma dos n primeiros termos da PA.

S_n=\frac{n\,[2a_1+(n-1)r]}{2}

Forma que dispensa o cálculo separado de aₙ.

Aplicações lineares

Fileiras de assentos, depósitos com acréscimo fixo, produção crescente e sequências de múltiplos podem ser modelados por uma PA.

Antes de usar a fórmula, confirme se a quantidade cresce por diferença constante e determine corretamente quantos termos entram na soma.

Identifique $a_{1}$ e r.
Encontre n a partir do último termo, se necessário.
Calcule aₙ.
Aplique a soma e interprete a unidade.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Soma parcial

Soma dos primeiros n termos de uma sequência.

Pareamento

Associação de termos equidistantes dos extremos para explorar uma soma constante.

Série aritmética

Adição dos termos de uma progressão aritmética finita.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Fórmula de Gauss

A soma de uma PA finita é o número de termos multiplicado pela média dos extremos.

EXEMPLO RESOLVIDO

Arquibancada

Uma arquibancada tem 18 fileiras. A primeira possui 14 lugares e cada nova fileira possui 2 lugares a mais. Quantos lugares há no total?

É uma PA com $a_{1}=14, r=2$ e $n=18$ .
$a_{18}=14+17\cdot 2=48$ .
$S_{18}=18\frac{14+48}{2}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Múltiplos de 7

Calcule a soma dos múltiplos positivos de 7 menores ou iguais a 140.

A sequência é 7,14,…,140, com razão 7.
Como $\frac{140}{7}=20$ , há 20 termos.
Use $S=20\frac{7+140}{2}$ .

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CAPÍTULO 5

Progressões aritméticas de segunda ordem

Algumas sequências não têm diferenças constantes, mas suas primeiras diferenças formam uma PA. Nesses casos, a segunda diferença é constante e o comportamento é quadrático.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

\Delta a_n=a_{n+1}-a_n

Primeira diferença.

\Delta^2a_n=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n

Segunda diferença.

a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k

Reconstrução da sequência pelas diferenças.

Diferenças sucessivas

A primeira diferença é Δaₙ=aₙ₊₁−aₙ. Se a sequência das primeiras diferenças é uma PA, então as segundas diferenças $\Delta ^{2}$ aₙ são constantes.

Sequências dadas por polinômios quadráticos em n possuem segunda diferença constante. O coeficiente de $n^{2}$ controla esse valor.

\Delta a_n=a_{n+1}-a_n

Primeira diferença.

\Delta^2a_n=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n

Segunda diferença.

Reconstrução pela soma

Para chegar a aₙ, somam-se ao primeiro termo as n−1 primeiras diferenças. Como essas diferenças formam uma PA, sua soma pode ser calculada pela fórmula já estudada.

Essa conexão explica por que somar uma lei linear produz uma lei quadrática e antecipa a ideia discreta de integração.

a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k

Reconstrução da sequência pelas diferenças.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Primeira diferença

Variação entre dois termos consecutivos.

Segunda diferença

Variação entre duas primeiras diferenças consecutivas.

PA de segunda ordem

Sequência cujas primeiras diferenças formam uma PA não constante.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Caracterização quadrática

Uma sequência tem segunda diferença constante se, e somente se, seu termo geral é um polinômio de grau no máximo 2 em n.

EXEMPLO RESOLVIDO

Próximo termo

Encontre o próximo termo de 3, 8, 15, 24, 35, …

As primeiras diferenças são 5, 7, 9 e 11.
Elas formam uma PA de razão 2.
A próxima diferença é 13; some-a a 35.

EXEMPLO RESOLVIDO

Números triangulares

A sequência 1, 3, 6, 10, 15, … tem diferenças 2, 3, 4, 5, … Qual é o 20º termo?

O termo aₙ soma os naturais de 1 até n.
Use aₙ= $n(n+1)$ /2.
Substitua $n=20$ .

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CAPÍTULO 6

Progressão geométrica: termo e propriedades

Em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante. O modelo descreve crescimentos e decaimentos proporcionais.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

a_n=a_{n-1}q

Definição recursiva da PG.

a_n=a_1q^{n-1}

Termo geral da PG.

a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}

Propriedade da média geométrica.

Razão e termo geral

Quando os termos são não nulos, a razão q é o quociente entre um termo e seu antecessor. Do primeiro ao enésimo termo ocorrem n−1 multiplicações por q.

Para $q>1$ e $a_{1}>0, a PG$ cresce; para $0<q<1$ , decresce em módulo. Uma razão negativa produz alternância de sinais.

a_n=a_{n-1}q

Definição recursiva da PG.

a_n=a_1q^{n-1}

Termo geral da PG.

Média geométrica e equidistância

Em uma PG, o quadrado de um termo interno é o produto de seus vizinhos. Para termos positivos, esse termo é a média geométrica dos vizinhos.

Produtos de termos equidistantes de uma posição central são iguais. Em uma PG finita, $a_{1}$ aₙ= $a_{2}$ aₙ₋₁ e assim por diante.

a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}

Propriedade da média geométrica.

a_{k-d}a_{k+d}=a_k^2

Termos equidistantes de aₖ.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Progressão geométrica

Sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma constante q.

Razão da PG

Fator multiplicativo constante entre termos consecutivos.

Média geométrica

Para números positivos x e y, valor $\sqrt{xy}$ .

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Caracterização exponencial

Uma PG não nula possui termo geral aₙ= $a_{1}q^{n-1}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Decaimento geométrico

Determine $a_{8}$ na PG 640, 320, 160, …

A razão é $q=\frac{1}{2}$ .
Use $a_{8}=640(\frac{1}{2})^{7}$ .
Como $2^{7}=128$ , divida 640 por 128.

EXEMPLO RESOLVIDO

Descoberta da razão

Em uma PG de razão positiva, $a_{3}=18$ e $a_{6}=486$ . Determine q e $a_{1}$ .

Divida $a_{6}$ por $a_{3}$ : $q^{3}=\frac{486}{18}=27$ .
Como $q>0, q=3$ .
Use $a_{3}=a_{1}q^{2}$ para encontrar $a_{1}$ .

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CAPÍTULO 7

Somas em PG e séries infinitas

A soma geométrica resulta de multiplicar a série por q e subtrair expressões. Quando $\left|q\right|<1$ , os termos diminuem e uma soma infinita pode convergir para um valor finito.

SÍNTESE DO CAPÍTULO

S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1

Soma dos n primeiros termos da PG.

S_n=na_1,\quad q=1

Caso constante.

S_\infty=\frac{a_1}{1-q},\qquad |q|<1

Soma da PG infinita convergente.

Soma finita

Para $q\ne 1$ , subtraia Sₙ de qSₙ. Quase todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro e o termo imediatamente após o último.

Quando $q=1$ , todos os termos são iguais a $a_{1}$ e a soma é simplesmente n $a_{1}$ .

S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1

Soma dos n primeiros termos da PG.

S_n=na_1,\quad q=1

Caso constante.

Soma infinita convergente

Se $\left|q\right|<1$ , então qⁿ se aproxima de zero. A soma parcial se aproxima de $a_{1}$ /(1−q), que é definida como a soma da série infinita.

Se $\left|q\right|\ge 1$ e $a_{1}\ne 0$ , os termos não se aproximam de zero; portanto, a série geométrica não converge. Termos irem a zero é condição necessária, embora não suficiente para séries em geral.

Confirme o valor de q.
Conte os termos na soma finita.
Use a fórmula infinita apenas quando $\left|q\right|<1$ .
Interprete o limite no contexto.

S_\infty=\frac{a_1}{1-q},\qquad |q|<1

Soma da PG infinita convergente.

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Soma parcial

Soma finita Sₙ dos n primeiros termos.

Série geométrica

Soma dos termos de uma progressão geométrica.

Convergência

Existência de um valor finito do qual as somas parciais se aproximam.

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Convergência geométrica

A série $a_{1}$ + $a_{1}$ q $+a_{1}q^{2}$ +⋯ converge se, e somente se, $\left|q\right|<1$ ou $a_{1}=0$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Soma finita

Calcule 3+6+12+⋯+1.536.

A PG tem $a_{1}=3$ e $q=2$ .
Como $1.536=3\cdot 2^{9}$ , há 10 termos.
Use $S_{10}=3\frac{2^{10}-1}{2-1}$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Série alternada

Calcule 18−6+2− $\frac{2}{3}$ +⋯

A razão é $q=-\frac{1}{3}$ .
Como $\left|q\right|=\frac{1}{3}<1$ , a série converge.
Use $S=18/[1-(-\frac{1}{3})]$ .

EXEMPLO RESOLVIDO

Distância de uma bola

Uma bola cai de 10 m e, a cada impacto, sobe 60% da altura anterior. Qual distância total percorre?

A primeira queda mede 10 m.
As subidas formam 6+3,6+2,16+⋯, com soma $\frac{6}{1-0{,}6}=15$ .
Cada subida é acompanhada por uma nova descida de mesma altura.

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DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Identificar a razão de uma PA e somar seus termos com significado.

Antes de começar: Sequências, multiplicação e identificação do primeiro termo.

Uma situação para resolver

Uma campanha recebe 120 doações no primeiro dia e 15 a mais a cada dia seguinte. Quantas doações recebe ao longo de sete dias?

As quantidades formam uma PA com primeiro termo 120 e razão 15.
O sétimo termo vem após seis aumentos: $a_{7}=120+6\cdot 15=210$ .
A média entre o primeiro e o último termo é 165. Multiplicando pelos sete dias: $S_{7}=7\cdot 165=1155$ .

Conclusão: 1.155 doações no total dos sete dias.

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