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Exercícios resolvidos de Progressões

Estude sequências, progressões aritméticas e geométricas, somas e modelos de crescimento. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Identificar a razão de uma PA e somar seus termos com significado.

Antes de começar: Sequências, multiplicação e identificação do primeiro termo.

Uma situação para resolver

Uma campanha recebe 120 doações no primeiro dia e 15 a mais a cada dia seguinte. Quantas doações recebe ao longo de sete dias?

  1. As quantidades formam uma PA com primeiro termo 120 e razão 15.
  2. O sétimo termo vem após seis aumentos: a7=120+6⋅15=210a_{7}=120+6\cdot 15=210.
  3. A média entre o primeiro e o último termo é 165. Multiplicando pelos sete dias: S7=7⋅165=1155S_{7}=7\cdot 165=1155.

Conclusão: 1.155 doações no total dos sete dias.

Sequências e padrões

Questão 1

Fácil

Se aₙ=4n+1, qual é a6a_{6}?

  1. 21
  2. 24
  3. 25
  4. 29
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Resposta: 25

a6=4⋅6+1=25a_{6}=4\cdot 6+1=25.

Questão 2

Médio

A sequência 2,5,10,17,… é gerada por:

  1. aₙ=n2n^{2}+1
  2. aₙ=2n+1
  3. aₙ=n2n^{2}−1
  4. aₙ=3n−1
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Resposta: aₙ=n2n^{2}+1

Para n=1,2,3,4n=1{,}2,3{,}4 obtemos 2,5,10,17.

Questão 3

Fácil

Se aₙ=5n−2, quanto vale a12a_{12}?

  1. 48
  2. 52
  3. 58
  4. 62
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Resposta: 58

a12=5⋅12−2=60−2=58a_{12}=5\cdot 12-2=60-2=58.

Questão 4

Médio

Se a1=1a_{1}=1 e aₙ=aₙ₋₁+2n para n≥2n\ge 2, qual é a4a_{4}?

  1. 13
  2. 15
  3. 19
  4. 21
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Resposta: 19

a2=1+4=5a_{2}=1+4=5; a3=5+6=11a_{3}=5+6=11; a4=11+8=19a_{4}=11+8=19.

Progressão aritmética

Questão 1

Fácil

Qual é o décimo termo da PA 3,7,11,…?

  1. 35
  2. 39
  3. 40
  4. 43
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Resposta: 39

a10=3+9⋅4=39a_{10}=3+9\cdot 4=39.

Questão 2

Difícil

Em uma PA, a4=11a_{4}=11 e a9=31a_{9}=31. Qual é a razão?

  1. 2
  2. 4
  3. 5
  4. 20
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Resposta: 4

a9−a4=5r=20a_{9}-a_{4}=5r=20, logo r=4r=4.

Questão 3

Fácil

A sequência 14, 11, 8, 5, … é uma PA:

  1. Crescente de razão 3
  2. Decrescente de razão −3
  3. Constante
  4. De razão −4
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Resposta: Decrescente de razão −3

A diferença entre termos consecutivos é sempre −3; como r<0,aPAr<0, a PA é decrescente.

Questão 4

Médio

Qual é o 25º termo da PA 8, 13, 18, …?

  1. 123
  2. 128
  3. 133
  4. 138
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Resposta: 128

A razão é 5. Então a25=8+24⋅5=128a_{25}=8+24\cdot 5=128.

Questão 5

Difícil

Em uma PA, a6=22a_{6}=22 e a14=54a_{14}=54. Qual é a razão?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
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Resposta: 4

a14−a6=(14−6)ra_{14}-a_{6}=(14-6)r. Logo, 32=8r32=8r e r=4r=4.

Soma dos termos da PA

Questão 1

Médio

Qual é a soma dos 20 primeiros números naturais positivos?

  1. 190
  2. 200
  3. 210
  4. 400
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Resposta: 210

S20=201+202=210S_{20}=20\frac{1+20}{2}=210.

Questão 2

Fácil

Qual é a soma dos 12 primeiros termos da PA com a1=7a_{1}=7 e r=3r=3?

  1. 246
  2. 270
  3. 282
  4. 564
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Resposta: 282

a12=7+11⋅3=40a_{12}=7+11\cdot 3=40 e S12=127+402=282S_{12}=12\frac{7+40}{2}=282.

Questão 3

Médio

Qual é a soma dos números pares positivos de 2 até 200?

  1. 5.050
  2. 10.000
  3. 10.100
  4. 20.100
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Resposta: 10.100

Há 100 termos. S=1002+2002=10S=100\frac{2+200}{2}=10.100.

Progressão geométrica

Questão 1

Fácil

Qual é o sexto termo da PG 2,4,8,…?

  1. 32
  2. 64
  3. 96
  4. 128
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Resposta: 64

a6=2⋅25=64a_{6}=2\cdot 2^{5}=64.

Questão 2

Médio

Em uma PG, a2=6a_{2}=6 e a4=54a_{4}=54, com razão positiva. Qual é q?

  1. 2
  2. 3
  3. 6
  4. 9
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Resposta: 3

a4a2=q2=9\frac{a_{4}}{a_{2}}=q^{2}=9, portanto q=3q=3.

Questão 3

Fácil

Qual é o sexto termo da PG 3, −6, 12, …?

  1. −96
  2. −48
  3. 48
  4. 96
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Resposta: −96

A razão é −2. Então a6=3(−2)5=−96a_{6}=3(-2)^{5}=-96.

Questão 4

Médio

Em uma PG de razão positiva, a2=10a_{2}=10 e a5=80a_{5}=80. Quais são q e a1a_{1}?

  1. q=2q=2 e a1=5a_{1}=5
  2. q=2q=2 e a1=10a_{1}=10
  3. q=4q=4 e a1=2,5a_{1}=2{,}5
  4. q=8q=8 e a1=1,25a_{1}=1{,}25
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Resposta: q=2q=2 e a1=5a_{1}=5

a5a2=q3=8\frac{a_{5}}{a_{2}}=q^{3}=8, logo q=2q=2. Como a2=a1qa_{2}=a_{1}q, temos a1=5a_{1}=5.

Somas em PG

Questão 1

Difícil

Qual é a soma infinita 12+6+3+…?

  1. 18
  2. 21
  3. 24
  4. Não converge
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Resposta: 24

S=121−12=24S=\frac{12}{1-\frac{1}{2}}=24.

Questão 2

Médio

Qual é a soma dos 7 primeiros termos da PG 5, 15, 45, …?

  1. 3.640
  2. 5.465
  3. 10.930
  4. 16.395
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Resposta: 5.465

S7=537−13−1=5(2S_{7}=5\frac{3^{7}-1}{3-1}=5(2.187−1)/2=52=5.465.

Questão 3

Fácil

Qual é a soma infinita 20+10+5+2,5+⋯?

  1. 30
  2. 35
  3. 40
  4. Não converge
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Resposta: 40

A razão é 12\frac{1}{2}, com módulo menor que 1. S=201−12=40S=\frac{20}{1-\frac{1}{2}}=40.

Questão 4

Fácil

A série 4+4,4+4,84+⋯ possui razão 1,1. Ela:

  1. Converge para 40
  2. Converge para 44
  3. Converge para 4,4
  4. Não converge
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Resposta: Não converge

Uma série geométrica infinita não nula converge apenas quando ∣q∣<1\left|q\right|<1. Aqui q=1,1q=1{,}1.

Questão 5

Difícil

Uma bola cai de 8 m e sobe 50% da altura anterior após cada impacto. Qual distância total percorre?

  1. 16 m
  2. 20 m
  3. 24 m
  4. 32 m
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Resposta: 24 m

A primeira queda é 8 m. As subidas somam 41−0,5=8 m\frac{4}{1-0{,}5}=8\,\mathrm{m} e as descidas posteriores somam mais 8 m. Total: 8+8+8=24 m8+8+8=24\,\mathrm{m}.

Propriedades da PA

Questão 1

Médio

Em uma PA, a4=13a_{4}=13. Quanto vale a2a_{2}+a6a_{6}?

  1. 13
  2. 20
  3. 26
  4. 39
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Resposta: 26

a2a_{2} e a6a_{6} são equidistantes de a4a_{4}, portanto a2+a6=2a4=26a_{2}+a_{6}=2a_{4}=26.

Questão 2

Médio

Quatro meios aritméticos são inseridos entre 3 e 28. Qual é a razão da PA formada?

  1. 4
  2. 5
  3. 6,25
  4. 7
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Resposta: 5

Quatro meios criam cinco intervalos iguais; r=28−35=5r=\frac{28-3}{5}=5.

PA de segunda ordem

Questão 1

Médio

Qual é o próximo termo de 2, 6, 12, 20, 30, …?

  1. 38
  2. 40
  3. 42
  4. 44
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Resposta: 42

As diferenças são 4, 6, 8 e 10; a próxima é 12. Logo, 30+12=4230+12=42.

Propriedades da PG

Questão 1

Médio

Qual meio geométrico positivo deve ser inserido entre 9 e 25?

  1. 12
  2. 15
  3. 17
  4. 34\sqrt{34}
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Resposta: 15

Se 9, x, 25 formam uma PG positiva, x2=9⋅25=225x^{2}=9\cdot 25=225; portanto x=15x=15.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Progressões. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.