Conteúdos de Matemática

01

CAPÍTULO 1

Arcos e ângulos

A trigonometria circular começa ao relacionar rotações, arcos orientados e medidas angulares no ciclo trigonométrico.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Do ângulo central ao comprimento do arco

Em radianos, a medida do ângulo é a razão entre o comprimento do arco e o raio: θ = ℓ/r. Assim, ℓ = rθ.

Arcos orientados e ângulos centrais

Um arco orientado possui origem, extremidade e sentido de percurso. Por convenção, o sentido anti-horário é positivo e o sentido horário é negativo.

Quando o vértice de um ângulo está no centro da circunferência, sua medida determina o arco correspondente. Uma volta completa mede $360^{\circ}$ ou 2 $\pi$ radianos.

1\text{ volta}=360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad}

Equivalência fundamental entre graus e radianos.

\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{graus}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}

Conversão de graus para radianos.

Radiano e comprimento de arco

Um radiano é a medida do ângulo central que subtende um arco de comprimento igual ao raio. Essa unidade torna naturais as fórmulas de trigonometria e cálculo.

A fórmula $\ell = r\theta$ só pode ser utilizada diretamente quando θ está em radianos. Se o ângulo estiver em graus, converta-o antes ou use a proporção com $360^{\circ}$ .

\theta=\frac{\ell}{r}

Definição geométrica de radiano.

\ell=r\theta

Comprimento do arco para θ em radianos.

Ciclo trigonométrico e arcos côngruos

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, centro na origem e ponto inicial (1,0). Cada número real determina um ponto após uma rotação de θ radianos.

Ângulos que diferem por um número inteiro de voltas possuem a mesma extremidade. Eles são chamados côngruos e compartilham os mesmos valores trigonométricos.

1º quadrante: $0 < \theta < \frac{\pi }{2}$ .
2º quadrante: $\pi$ / $2 < \theta < \pi$ .
3º quadrante: $\pi$ < $\theta < \frac{3\pi }{2}$ .
4º quadrante: 3 $\pi$ / $2 < \theta < 2\pi$ .

\theta_k=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z

Família de arcos côngruos.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Arco orientado

Parte da circunferência percorrida com origem, extremidade e sentido definidos.

Radiano

Medida do ângulo central cujo arco tem comprimento igual ao raio.

Arcos côngruos

Arcos com a mesma extremidade no ciclo, cujas medidas diferem por 2k $\pi$ .

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Comprimento do arco

Em uma circunferência de raio r, um arco associado a θ radianos mede $\ell = r\theta$ .

Representante principal

Todo arco é côngruo a um único arco no intervalo [0,2 $\pi$ ).

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Conversão de graus para radianos

Converta $225^{\circ}$ para radianos e localize o quadrante de sua extremidade.

Multiplicamos $225^{\circ}$ por $\frac{\pi }{180^{\circ}}$ .
Simplificamos $\frac{225}{180} = \frac{5}{4}$ .
Como $\pi$ < 5 $\pi$ / $4 < \frac{3\pi }{2}$ , a extremidade está no 3º quadrante.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Comprimento de uma pista circular

Em uma circunferência de raio 9 m, calcule o arco determinado por um ângulo de 2 $\frac{\pi }{3}$ rad.

Usamos $\ell = r\theta$ .
Substituímos $r = 9$ e $\theta = \frac{2\pi }{3}$ .
Simplificamos 9 · 2 $\frac{\pi }{3}$ .

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02

CAPÍTULO 2

Funções circulares

As coordenadas de um ponto no ciclo unitário definem seno e cosseno; as demais funções surgem de razões ou recíprocos dessas coordenadas.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Projeções de seno, cosseno e tangente

Para P = (cos θ, sen θ), o cosseno é a projeção horizontal e o seno é a projeção vertical. A tangente aparece na reta tangente ao ciclo em (1,0).

Função periódica

Uma função é periódica quando seus valores se repetem em intervalos regulares. O menor número positivo T que satisfaz $f(x+T)=f(x)$ para todo x do domínio é chamado período fundamental.

Seno e cosseno repetem-se a cada volta completa; tangente e cotangente repetem-se após meia volta.

\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}x

O seno possui período 2π.

\tan(x+\pi)=\tan x

A tangente possui período π.

Seno e cosseno

Se P é a extremidade do arco x no ciclo unitário, então $P=(\cos x$ , sen x). Como P pertence à circunferência unitária, ambas as coordenadas estão entre -1 e 1.

A função seno é ímpar e a função cosseno é par. Seus zeros e extremos podem ser lidos diretamente no ciclo ou em seus gráficos ondulatórios.

P(x)=(\cos x,\operatorname{sen}x)

Coordenadas do ponto no ciclo unitário.

-1\leq\operatorname{sen}x\leq1,\quad -1\leq\cos x\leq1

Imagem das funções seno e cosseno.

Tangente, cotangente, secante e cossecante

A tangente é definida quando cos $x \ne 0$ , enquanto a cotangente exige sen $x \ne 0$ . Secante e cossecante são os recíprocos do cosseno e do seno, respectivamente.

Os valores proibidos no domínio produzem assíntotas verticais nos gráficos. Tangente e cotangente assumem qualquer valor real.

\tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x},\qquad \cot x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}

Razões trigonométricas derivadas.

\sec x=\frac1{\cos x},\qquad \csc x=\frac1{\operatorname{sen}x}

Funções recíprocas.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Período

Menor deslocamento positivo que faz uma função repetir todos os seus valores.

Seno

Ordenada do ponto associado ao arco no ciclo unitário.

Cosseno

Abscissa do ponto associado ao arco no ciclo unitário.

Assíntota vertical

Reta da qual o gráfico se aproxima quando a função cresce ou decresce sem limite.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Periodicidade circular

Seno, cosseno, secante e cossecante têm período 2 $\pi$ ; tangente e cotangente têm período $\pi$ .

Paridade

$\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x$ , $\cos(-x)=\cos x$ e $\tan(-x)=-\tan x$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Coordenadas no segundo quadrante

Determine sen(5 $\frac{\pi }{6}$ ) e cos(5 $\frac{\pi }{6}$ ).

O ângulo de referência de 5 $\frac{\pi }{6}$ é $\frac{\pi }{6}$ .
No 2º quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo.
Usamos os valores notáveis de $\frac{\pi }{6}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Domínio da tangente

A função tan x está definida em $x = \frac{3\pi }{4}$ ? Calcule seu valor.

Em 3 $\frac{\pi }{4}$ , cos $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , portanto o denominador não é zero.
Calculamos tan $x=\operatorname{sen} \frac{x}{\cos} x$ .
Dividimos $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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03

CAPÍTULO 3

Relações fundamentais

As relações fundamentais conectam as seis funções circulares e permitem simplificar expressões, demonstrar identidades e determinar valores desconhecidos.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

A identidade pitagórica no ciclo unitário

O ponto P=(cos x,sen x) forma um triângulo retângulo de hipotenusa 1. Pelo Teorema de Pitágoras, cos²x + sen²x = 1.

Relação pitagórica

A equação do ciclo unitário é $X^{2}+Y^{2}=1$ . Substituindo $X=\cos x$ e $Y=\operatorname{sen} x$ , obtemos a identidade mais importante da trigonometria.

Dividir essa relação por $\cos^{2}$ x ou por $\operatorname{sen}^{2}$ x gera outras duas identidades, desde que os denominadores envolvidos não sejam nulos.

\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1

Identidade pitagórica fundamental.

1+\tan^2x=\sec^2x

Relação obtida ao dividir por cos²x.

1+\cot^2x=\csc^2x

Relação obtida ao dividir por sen²x.

Determinação das demais razões

Conhecido um valor trigonométrico e o quadrante do arco, é possível determinar os demais. O quadrante é indispensável porque uma raiz quadrada introduz duas possibilidades de sinal.

Depois de encontrar seno e cosseno, as demais funções são calculadas por razões e recíprocos, sempre respeitando seus domínios.

Identifique o quadrante.
Use uma identidade adequada.
Escolha o sinal coerente com o quadrante.
Calcule razões e recíprocos apenas quando definidos.

Demonstração de identidades

Uma identidade trigonométrica é uma igualdade verdadeira para todos os valores do domínio comum. Demonstrá-la não é resolver uma equação: devemos transformar um membro até obter o outro.

As estratégias mais úteis são escrever tudo em seno e cosseno, fatorar, obter denominadores comuns e usar a relação pitagórica.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Identidade trigonométrica

Igualdade válida para todo valor em que ambos os membros estão definidos.

Domínio comum

Interseção dos conjuntos de valores permitidos em todas as expressões da igualdade.

Relação pitagórica

Identidade $\operatorname{sen}^{2}$ x $+\cos^{2}$ $x=1$ herdada da equação do ciclo unitário.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Determinação pelo quadrante

Uma razão trigonométrica não nula, junto com o quadrante, determina de forma única as demais razões definidas.

Equivalência das relações

As identidades 1 $+\tan^{2}$ $x=sec^{2}x$ e 1 $+cot^{2}$ $x=csc^{2}x$ decorrem da identidade pitagórica nos respectivos domínios.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Secante a partir da tangente

Sabendo que tan $x=\frac{3}{4}$ e que x está no 1º quadrante, determine sec x.

Aplicamos 1 $+\tan^{2}$ $x=sec^{2}x$ .
Temos $sec^{2}$ $x=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$ .
No 1º quadrante, a secante é positiva.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Simplificação de identidade

Simplifique (1 $-\cos^{2}$ x)/sen x, supondo sen $x \ne 0$ .

Pela identidade fundamental, 1 $-\cos^{2}$ $x=\operatorname{sen}^{2}x$ .
Substituímos no numerador.
Cancelamos um fator sen x, permitido porque sen $x \ne 0$ .

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04

CAPÍTULO 4

Redução ao primeiro quadrante

Ângulos de qualquer quadrante podem ser associados a um ângulo de referência do primeiro quadrante, preservando o valor absoluto e ajustando o sinal.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Ângulo de referência e sinais por quadrante

O ângulo de referência é sempre agudo. O quadrante decide o sinal: seno acompanha a coordenada y; cosseno, a coordenada x; tangente, a razão y/x.

Sinais das funções circulares

No primeiro quadrante, seno, cosseno e tangente são positivos. No segundo, apenas o seno é positivo; no terceiro, apenas a tangente; no quarto, apenas o cosseno.

Secante possui o sinal do cosseno, cossecante possui o sinal do seno e cotangente possui o sinal da tangente.

1º quadrante: todas positivas.
2º quadrante: seno e cossecante positivas.
3º quadrante: tangente e cotangente positivas.
4º quadrante: cosseno e secante positivas.

Ângulos de referência

Para θ no segundo quadrante, o ângulo de referência é $\pi$ -θ. No terceiro, θ- $\pi$ . No quarto, 2 $\pi$ -θ.

A redução separa o cálculo em duas decisões: primeiro encontramos o valor absoluto usando o ângulo agudo; depois aplicamos o sinal do quadrante original.

\operatorname{sen}(\pi-\alpha)=\operatorname{sen}\alpha

Redução do seno no 2º quadrante.

\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha

Redução do cosseno no 3º quadrante.

\tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alpha

Redução da tangente no 4º quadrante.

Complementares, pares e ímpares

Seno e cosseno de ângulos complementares trocam de papel. Essas relações são chamadas cofunções.

A paridade também reduz ângulos negativos: o cosseno é par, enquanto seno, tangente, cotangente e cossecante são ímpares; a secante é par.

\operatorname{sen}\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\cos\alpha

Relação de cofunção.

\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \operatorname{sen}(-\alpha)=-\operatorname{sen}\alpha

Paridade de cosseno e seno.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Ângulo de referência

Ângulo agudo formado pelo lado terminal e o eixo x.

Cofunções

Funções que trocam de papel em ângulos complementares, como seno e cosseno.

Função par ou ímpar

Função com simetria em relação ao eixo y ou à origem, respectivamente.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Redução por simetria

Ângulos simétricos em relação aos eixos possuem valores trigonométricos de mesmo módulo.

Cofunções

Para ângulos complementares, $\operatorname{sen}(\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$ e $\cos(\frac{\pi }{2}-x)=\operatorname{sen} x$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Seno no segundo quadrante

Calcule sen $150^{\circ}$ usando redução ao primeiro quadrante.

O ângulo de referência é $180^{\circ}$ - $150^{\circ}$ = $30^{\circ}$ .
O seno é positivo no 2º quadrante.
Usamos sen $30^{\circ}$ = $\frac{1}{2}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Cosseno no terceiro quadrante

Calcule cos(7 $\frac{\pi }{6}$ ).

Escrevemos 7 $\pi$ / $6=\pi +\frac{\pi }{6}$ .
No 3º quadrante, o cosseno é negativo.
O valor de referência é $\cos(\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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05

CAPÍTULO 5

Arcos notáveis

Os valores exatos de $0^{\circ}$ , $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $60^{\circ}$ e $90^{\circ}$ formam uma base de consulta para cálculos em todos os quadrantes.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Triângulos que geram os valores notáveis

O triângulo equilátero dividido ao meio fornece 30° e 60°; a diagonal de um quadrado fornece 45°. As razões dos lados produzem os valores exatos.

Arcos de 30° e 60°

Ao traçar a altura de um triângulo equilátero de lado 2, obtemos dois triângulos retângulos com hipotenusa 2, cateto menor 1 e cateto maior $\sqrt{3}$ .

Essas medidas fornecem sen $30^{\circ}$ = $\frac{1}{2}$ , cos $30^{\circ}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e os valores correspondentes de $60^{\circ}$ pela troca entre seno e cosseno.

\operatorname{sen}30^\circ=\frac12,\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}

Valores para 30°.

\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos60^\circ=\frac12

Valores para 60°.

Arco de 45°

A diagonal de um quadrado de lado 1 divide-o em dois triângulos retângulos isósceles. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede $\sqrt{2}$ .

Como os catetos são iguais, seno e cosseno de $45^{\circ}$ também são iguais. A racionalização produz $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\operatorname{sen}45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}

Valor comum de seno e cosseno.

\tan45^\circ=1

Razão entre catetos iguais.

Uso da tabela no ciclo completo

Depois de memorizar ou reconstruir os valores do primeiro quadrante, use ângulo de referência e sinal para calcular arcos como $120^{\circ}$ , $225^{\circ}$ ou $330^{\circ}$ .

É preferível compreender os triângulos geradores a decorar uma tabela sem significado. Assim, os valores podem ser recuperados durante a resolução.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Arco notável

Arco cujos valores trigonométricos exatos são obtidos diretamente de figuras elementares.

Valor exato

Representação sem arredondamento, normalmente com frações e radicais.

Triângulo gerador

Triângulo especial usado para deduzir razões trigonométricas notáveis.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Triângulo 30°-60°-90°

Se o menor cateto mede a, então o maior mede a $\sqrt{3}$ e a hipotenusa mede 2a.

Triângulo 45°-45°-90°

Se cada cateto mede a, a hipotenusa mede a $\sqrt{2}$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Valor exato no segundo quadrante

Determine sen $120^{\circ}$ e cos $120^{\circ}$ .

O ângulo de referência é $60^{\circ}$ .
No 2º quadrante, seno é positivo e cosseno é negativo.
Aplicamos os valores notáveis de $60^{\circ}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Valor exato no quarto quadrante

Determine tan $315^{\circ}$ .

O ângulo de referência é $360^{\circ}$ - $315^{\circ}$ = $45^{\circ}$ .
No 4º quadrante, a tangente é negativa.
Como tan $45^{\circ}$ =1, ajustamos o sinal.

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06

CAPÍTULO 6

Transformações trigonométricas

Fórmulas de adição, múltiplos, metade e transformação em produto permitem reescrever expressões e alcançar ângulos não tabelados.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Compor ângulos para produzir novos valores

Um ângulo como 75° pode ser escrito como 45°+30°. As fórmulas de adição combinam valores conhecidos sem recorrer a aproximações.

Adição e subtração de arcos

Seno e cosseno de uma soma não são obtidos somando separadamente os valores. As fórmulas misturam seno e cosseno de cada parcela.

Para a tangente, a soma ou diferença aparece no numerador e o produto das tangentes altera o denominador. As restrições de domínio precisam ser preservadas.

\operatorname{sen}(a\pm b)=\operatorname{sen}a\cos b\pm\cos a\operatorname{sen}b

Seno da soma ou diferença.

\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b

Cosseno da soma ou diferença.

\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}

Tangente da soma ou diferença.

Arco duplo, triplo e metade

As fórmulas do arco duplo resultam das fórmulas de adição ao tomar $a=b=x$ . O cosseno do arco duplo admite três formas equivalentes.

Fórmulas de metade são obtidas isolando $\operatorname{sen}^{2}$ ( $\frac{x}{2}$ ) ou $\cos^{2}$ ( $\frac{x}{2}$ ). O sinal da raiz depende do quadrante de $\frac{x}{2}$ .

\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x

Seno do arco duplo.

\cos(2x)=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x=1-2\operatorname{sen}^2x=2\cos^2x-1

Formas do cosseno do arco duplo.

\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}

Tangente do arco duplo.

Soma em produto e produto em soma

Transformações desse tipo são úteis para fatorar expressões, resolver equações e estudar oscilações sobrepostas.

A escolha da fórmula deve considerar o objetivo: reduzir uma soma, separar um produto ou evidenciar fatores nulos.

\operatorname{sen}p+\operatorname{sen}q=2\operatorname{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)

Transformação da soma de senos em produto.

2\operatorname{sen}p\cos q=\operatorname{sen}(p+q)+\operatorname{sen}(p-q)

Transformação de produto em soma.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Fórmula de adição

Identidade que expressa uma função de a±b por funções de a e b.

Arco múltiplo

Arco cuja medida é um múltiplo inteiro de outra medida.

Transformação em produto

Reescrita de uma soma trigonométrica como produto de fatores.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Adição do seno e do cosseno

As fórmulas de adição são válidas para todos os arcos reais e podem ser demonstradas geometricamente ou por matrizes de rotação.

Equivalência do arco duplo

As três expressões de $\cos(2x)$ são equivalentes pela identidade $\operatorname{sen}^{2}$ x $+\cos^{2}$ $x=1$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Seno de 75°

Calcule o valor exato de sen $75^{\circ}$ .

Escrevemos $75^{\circ}$ = $45^{\circ}$ + $30^{\circ}$ .
Aplicamos $\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a \cos b+\cos a \operatorname{sen} b$ .
Substituímos os valores notáveis e somamos as frações.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Cosseno do arco duplo

Se sen $x=\frac{3}{5}$ e x está no 1º quadrante, determine $\cos(2x)$ .

Escolhemos $\cos(2x)=1-2sen^{2}x$ .
Substituímos $\operatorname{sen}^{2}$ $x=\frac{9}{25}$ .
Calculamos 1- $\frac{18}{25}$ .

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07

CAPÍTULO 7

Equações trigonométricas

Resolver uma equação trigonométrica significa localizar todos os arcos que produzem determinado valor, usando periodicidade, simetria e técnicas algébricas.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Um valor, várias extremidades e infinitas soluções

A reta y=m geralmente intercepta o ciclo em dois pontos. Cada ponto gera uma família de soluções que se repete a cada período.

Equações fundamentais

Equações como sen $x=m$ , cos $x=m$ e tan $x=m$ são fundamentais. Primeiro localizamos as soluções em um período; depois acrescentamos múltiplos inteiros do período.

Para seno e cosseno, é necessário que $\left|m\right|\le 1$ . A tangente admite qualquer valor real, desde que a própria função esteja definida.

\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ ou }\ x=\pi-\alpha+2k\pi

Solução geral da igualdade de senos.

\cos x=\cos\alpha\iff x=2k\pi\pm\alpha

Solução geral da igualdade de cossenos.

\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi

Solução geral da igualdade de tangentes.

Equações redutíveis

Muitas equações tornam-se fundamentais após fatoração, substituição ou uso de identidades. Uma equação quadrática em sen x ou cos x deve ser resolvida primeiro na variável auxiliar.

Valores auxiliares fora de [-1,1] são descartados quando representam seno ou cosseno. Ao fatorar, cada fator nulo gera um ramo de soluções.

Defina o intervalo ou procure a solução geral.
Simplifique com identidades.
Resolva a parte algébrica.
Volte às equações fundamentais e reúna todas as famílias.

Funções circulares inversas

As funções arcsen, arccos e arctan devolvem valores em intervalos principais escolhidos para tornar seno, cosseno e tangente invertíveis.

O valor principal não representa sozinho todas as soluções de uma equação periódica; ele serve como ângulo de referência para gerar as famílias completas.

\arcsin:[-1,1]\to\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]

Intervalo principal do arco seno.

\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]

Intervalo principal do arco cosseno.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Equação trigonométrica

Igualdade com incógnita no argumento de uma função trigonométrica.

Solução geral

Descrição de todas as soluções por meio de um parâmetro inteiro.

Valor principal

Único valor devolvido por uma função trigonométrica inversa em seu intervalo escolhido.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Periodicidade das soluções

Se $x_{0}$ resolve uma equação fundamental, então $x_{0}$ somado a um múltiplo do período produz outra solução.

Limitação de seno e cosseno

As equações sen $x=m$ e cos $x=m$ possuem solução real se, e somente se, $\left|m\right|\le 1$ .

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Soluções em uma volta

Resolva sen $x=\frac{\sqrt{3}}{2} no$ intervalo [0,2 $\pi$ ).

O ângulo de referência é $\frac{\pi }{3}$ .
O seno é positivo no 1º e no 2º quadrantes.
Selecionamos $\frac{\pi }{3}$ e $\pi$ - $\frac{\pi }{3}$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Equação quadrática em cosseno

Resolva 2 $\cos^{2}$ x-3cos $x+1=0$ em [0,2 $\pi$ ).

Fatoramos: (2cos x-1) $(\cos x-1)=0$ .
Logo, cos $x=\frac{1}{2}$ ou cos $x=1$ .
Localizamos as soluções correspondentes no ciclo.

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08

CAPÍTULO 8

Inequações trigonométricas

Inequações trigonométricas pedem intervalos de arcos, e não apenas pontos. A leitura do ciclo e dos gráficos revela onde a função está acima ou abaixo de um nível.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Arcos que satisfazem uma comparação

Para sen x≥m, selecionamos no ciclo os pontos cuja coordenada vertical é pelo menos m. O resultado é um arco ou união de arcos.

Comparações com seno e cosseno

A inequação sen $x>m$ compara a ordenada dos pontos do ciclo com uma reta horizontal. Já cos $x>m$ compara as abscissas com uma reta vertical.

Depois de identificar o conjunto em uma volta, a periodicidade permite repetir os intervalos. Extremos são incluídos em $\ge ou \le$ e excluídos em $> ou <$ .

Comparações com tangente

Em cada intervalo (- $\frac{\pi }{2}$ +k $\pi$ , $\frac{\pi }{2}$ +k $\pi$ ), a tangente é estritamente crescente. Essa monotonicidade orienta a comparação com um valor real.

Os pontos em que cos $x=0$ nunca pertencem ao conjunto-solução, mesmo quando surgem como extremos de um intervalo desenhado.

\tan x>\tan\alpha\iff \alpha+k\pi<x<\frac\pi2+k\pi

Forma local quando -π/2<α<π/2.

Estratégia de resolução

Reduza a inequação a uma função trigonométrica simples, encontre os ângulos de fronteira e faça a leitura no ciclo ou no gráfico.

Em expressões fatoradas, um quadro de sinais pode combinar fatores trigonométricos e pontos de descontinuidade.

Determine o domínio.
Encontre as igualdades de fronteira.
Teste os intervalos ou leia o gráfico.
Inclua ou exclua extremos e repita pelo período.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Ângulo de fronteira

Valor em que a comparação se transforma em igualdade ou a função deixa de existir.

Intervalo periódico

Família de intervalos obtida pela repetição segundo o período da função.

Quadro de sinais

Organização dos sinais dos fatores entre pontos críticos.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Leitura geométrica do seno

sen $x\ge m$ seleciona os pontos do ciclo unitário cuja ordenada é maior ou igual a m.

Monotonicidade da tangente

A tangente é estritamente crescente em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Seno acima de um nível

Resolva sen $x\ge \frac{1}{2}$ em [0,2 $\pi$ ].

As fronteiras são $x=\frac{\pi }{6}$ e $x=\frac{5\pi }{6}$ .
Entre esses ângulos, a ordenada do ciclo é pelo menos $\frac{1}{2}$ .
Como a desigualdade é não estrita, incluímos os extremos.

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Tangente em meia volta

Resolva tan $x<1 no$ intervalo [0, $\pi$ ).

A igualdade tan $x=1$ ocorre em x= $\frac{\pi }{4}$ .
Em [0, $\frac{\pi }{2}$ ), a tangente cresce e é menor que 1 antes de $\frac{\pi }{4}$ .
Em ( $\frac{\pi }{2}$ , $\pi$ ), a tangente é negativa e, portanto, também é menor que 1.

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09

CAPÍTULO 9

Triângulos retângulos

Nos triângulos retângulos, as razões trigonométricas conectam ângulos e lados, permitindo determinar medidas inacessíveis por observação indireta.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Razões trigonométricas e projeções

Em relação ao ângulo α, seno compara cateto oposto e hipotenusa; cosseno compara cateto adjacente e hipotenusa; tangente compara os dois catetos.

Elementos e razões trigonométricas

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é o maior lado. Os catetos recebem os nomes oposto ou adjacente apenas em relação ao ângulo agudo escolhido.

As razões não dependem do tamanho do triângulo, pois triângulos retângulos com um mesmo ângulo agudo são semelhantes.

\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}

Razão seno.

\cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}

Razão cosseno.

\tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}

Razão tangente.

Relações métricas

A altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois triângulos menores semelhantes ao original. Dessa semelhança surgem relações entre catetos, projeções e altura.

Essas relações complementam o Teorema de Pitágoras e são úteis quando o problema fornece projeções sobre a hipotenusa.

a^2=b^2+c^2

Teorema de Pitágoras, com a hipotenusa.

b^2=am,\qquad c^2=an,\qquad h^2=mn

Relações métricas com projeções m e n.

bc=ah

Relação entre catetos e altura.

Resolução e aplicações

Resolver um triângulo é determinar seus lados e ângulos desconhecidos. Escolha a razão que relacione diretamente os dados com a incógnita.

Alturas de edifícios, inclinações de rampas e distâncias em levantamentos podem ser modeladas por triângulos retângulos.

Faça um desenho e marque o ângulo reto.
Identifique oposto, adjacente e hipotenusa.
Escolha seno, cosseno ou tangente.
Mantenha a calculadora na unidade angular correta.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Hipotenusa

Lado oposto ao ângulo de $90^{\circ}$ em um triângulo retângulo.

Projeção de um cateto

Segmento determinado por esse cateto sobre a hipotenusa.

Ângulo de elevação

Ângulo entre a horizontal e a linha de visada para um ponto acima do observador.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Semelhança interna

A altura relativa à hipotenusa cria dois triângulos semelhantes entre si e ao triângulo original.

Invariância das razões

Triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo possuem as mesmas razões trigonométricas.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Altura por sombra

Uma árvore projeta sombra de 8 m quando o ângulo de elevação do Sol é $45^{\circ}$ . Desconsidere irregularidades do terreno e calcule a altura.

A altura é o cateto oposto e a sombra é o adjacente.
Usamos tan $45^{\circ}$ = $\frac{h}{8}$ .
Como tan $45^{\circ}$ =1, obtemos $h=8$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Cateto a partir da hipotenusa

Uma escada de 10 m forma $60^{\circ}$ com o chão. Qual altura ela alcança na parede?

A escada é a hipotenusa e a altura é o cateto oposto.
Usamos sen $60^{\circ}$ = $\frac{h}{10}$ .
Substituímos sen $60^{\circ}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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10

CAPÍTULO 10

Triângulos quaisquer

Leis do seno e do cosseno estendem a resolução trigonométrica a triângulos que não possuem ângulo reto.

VISUALIZAÇÃO DA PROPRIEDADE

Lados e ângulos em um triângulo oblíquo

Cada lado é oposto ao ângulo de mesma letra minúscula/maiúscula. Essa correspondência é essencial para aplicar corretamente as leis do seno e do cosseno.

Lei dos senos

Em qualquer triângulo, a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

A lei dos senos é especialmente útil quando conhecemos um par lado-ângulo e mais um lado ou ângulo. No caso lado-lado-ângulo, pode haver ambiguidade.

\frac{a}{\operatorname{sen}A}=\frac{b}{\operatorname{sen}B}=\frac{c}{\operatorname{sen}C}=2R

Lei dos senos e raio circunscrito R.

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras. Ela é indicada quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados.

Se $A=90^{\circ}$ , então cos $A=0$ e a fórmula reduz-se a $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ .

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Lei dos cossenos para o lado a.

\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

Forma para determinar um ângulo.

Área e resolução de triângulos

A área pode ser calculada conhecendo dois lados e o seno do ângulo compreendido. A fórmula resulta de escrever a altura como uma projeção trigonométrica.

Na resolução completa, escolha primeiro a lei compatível com os dados e use $A+B+C=180^{\circ}$ para obter o ângulo restante.

LAL ou LLL: comece pela lei dos cossenos.
ALA ou LAA: comece pela lei dos senos.
LLA: verifique a possibilidade de duas soluções.
Ao final, confira a soma dos ângulos e a ordem dos lados.

K=\frac12bc\operatorname{sen}A=\frac12ca\operatorname{sen}B=\frac12ab\operatorname{sen}C

Área com dois lados e o ângulo compreendido.

D

VOCABULÁRIO

Definições essenciais

Triângulo oblíquo

Triângulo sem ângulo reto, podendo ser acutângulo ou obtusângulo.

Circunferência circunscrita

Circunferência que passa pelos três vértices do triângulo.

Caso ambíguo

Situação LLA em que os dados podem formar zero, um ou dois triângulos.

T

RESULTADOS CENTRAIS

Teoremas e propriedades

Lei dos senos

Em qualquer triângulo, lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

Lei dos cossenos

O quadrado de um lado é a soma dos quadrados dos outros menos duas vezes o produto deles pelo cosseno do ângulo compreendido.

1

EXEMPLO RESOLVIDO

Terceiro lado pela lei dos cossenos

Dois lados de um triângulo medem 7 cm e 8 cm, e o ângulo entre eles mede $60^{\circ}$ . Calcule o lado oposto a esse ângulo.

Aplicamos $a^{2}=7^{2}+8^{2}-2\cdot 7\cdot 8\cdot cos60^{\circ}$ .
Usamos cos $60^{\circ}$ = $\frac{1}{2}$ .
Obtemos $a^{2}=49+64-56=57$ .

2

EXEMPLO RESOLVIDO

Lado pela lei dos senos

Em um triângulo, $A=45^{\circ}, B=60^{\circ}$ e $a=6\,\mathrm{cm}$ . Determine b.

Relacionamos $\frac{b}{s}$ en $60^{\circ}$ = $\frac{6}{s}$ en $45^{\circ}$ .
Isolamos $b=6\cdot \frac{sen60^{\circ}}{sen45^{\circ}}$ .
Substituímos os valores notáveis e simplificamos.

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Do ângulo central ao comprimento do arco

Arcos orientados e ângulos centrais

Radiano e comprimento de arco

Ciclo trigonométrico e arcos côngruos

Conversão de graus para radianos

Comprimento de uma pista circular

Projeções de seno, cosseno e tangente

Função periódica

Seno e cosseno

Tangente, cotangente, secante e cossecante

Coordenadas no segundo quadrante

Domínio da tangente

A identidade pitagórica no ciclo unitário

Relação pitagórica

Determinação das demais razões

Demonstração de identidades

Secante a partir da tangente

Simplificação de identidade

Ângulo de referência e sinais por quadrante

Sinais das funções circulares

Ângulos de referência

Complementares, pares e ímpares

Seno no segundo quadrante

Cosseno no terceiro quadrante

Triângulos que geram os valores notáveis

Arcos de 30° e 60°

Arco de 45°

Uso da tabela no ciclo completo

Valor exato no segundo quadrante

Valor exato no quarto quadrante

Compor ângulos para produzir novos valores

Adição e subtração de arcos

Arco duplo, triplo e metade

Soma em produto e produto em soma

Seno de 75°

Cosseno do arco duplo

Um valor, várias extremidades e infinitas soluções

Equações fundamentais

Equações redutíveis

Funções circulares inversas

Soluções em uma volta

Equação quadrática em cosseno

Arcos que satisfazem uma comparação

Comparações com seno e cosseno

Comparações com tangente

Estratégia de resolução

Seno acima de um nível

Tangente em meia volta

Razões trigonométricas e projeções

Elementos e razões trigonométricas

Relações métricas

Resolução e aplicações

Altura por sombra

Cateto a partir da hipotenusa

Lados e ângulos em um triângulo oblíquo

Lei dos senos

Lei dos cossenos

Área e resolução de triângulos

Terceiro lado pela lei dos cossenos

Lado pela lei dos senos

Exercícios de Trigonometria