Exercícios resolvidos de Trigonometria

Resposta: 5$\frac{\pi }{6}$

Multiplicamos por $\frac{\pi }{180^{\circ}}$: $150^{\circ}$·$\frac{\pi }{180^{\circ}}$=5$\frac{\pi }{6}$.

Resposta: 10$\pi$ cm

Em radianos, $\ell =r\theta$. Assim, $\ell =12\cdot \frac{5\pi }{6}=10\pi cm$.

Resposta: 11$\frac{\pi }{6}$

Somamos duas voltas: −13$\frac{\pi }{6}$+4$\pi$=−13$\frac{\pi }{6}$+24$\pi$/$6=\frac{11\pi }{6}$.

Resposta: 20$\pi$ cm

Em radianos, $\ell =r\theta =12\cdot \frac{5\pi }{3}=20\pi cm$.

Resposta: ($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)

No ciclo, $P=(\cos x,\operatorname{sen} x)$. Para $\frac{\pi }{3}$, cos $x=\frac{1}{2}$ e sen $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Resposta: $\frac{\pi }{4}$

A tangente tem período $\pi$ no argumento. Como $4T=\pi$, obtemos $T=\frac{\pi }{4}$.

Resposta: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

sec $x=\frac{1}{\cos} x$. O cosseno é zero em $\frac{\pi }{2}$+k$\pi$, com k inteiro.

Resposta: $\frac{\pi }{2}$

A tangente possui período $\pi$ no argumento. Como $2T=\pi$, temos $T=\frac{\pi }{2}$.

Resposta: −$\frac{5}{13}$

$\cos^{2}$$x=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$. No 2º quadrante, o cosseno é negativo: cos $x=-\frac{5}{13}$.

Resposta: $\sqrt{5}$

Pela relação 1$+\tan^{2}$$x=sec^{2}x$, temos $sec^{2}$$x=5$. No 1º quadrante, sec $x=\sqrt{5}$.

Resposta: 1

Como 1$+\tan^{2}$$x=sec^{2}x$ e $sec^{2}$x·$\cos^{2}$$x=1$, a expressão é igual a 1.

Resposta: $\frac{5}{12}$

Pela identidade fundamental, cos$\theta =\frac{12}{13}$. Logo, tan$\theta =\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$.

Resposta: −$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$210^{\circ}$=$180^{\circ}$+$30^{\circ}$. No 3º quadrante, o cosseno é negativo, com módulo cos$30^{\circ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Resposta: $\frac{1}{2}$

−$330^{\circ}$ é côngruo a $30^{\circ}$. Portanto, $\operatorname{sen}(-330^{\circ})=sen30^{\circ}=\frac{1}{2}$.

Resposta: −1

O ângulo de referência é $\frac{\pi }{4}$ e a tangente é negativa no 2º quadrante.

Resposta: -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$210^{\circ}$=$180^{\circ}$+$30^{\circ}$. No terceiro quadrante o cosseno é negativo e seu módulo é cos$30^{\circ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Resposta: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

No triângulo $45^{\circ}$-$45^{\circ}$-$90^{\circ}$, a razão catet$\frac{o}{h}$ipotenusa é $1/\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Resposta: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

O ângulo de referência é $30^{\circ}$ e o cosseno é positivo no 4º quadrante.

Resposta: $\frac{1}{2}$

Substituindo os valores notáveis: $2\cdot (\frac{1}{2})\cdot (\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$.

Resposta: 4$\sqrt{3}$ m

tan$30^{\circ}$=$\frac{h}{12}=1/\sqrt{3}$. Assim, $h=12/\sqrt{3}=4\sqrt{3} m$.

Resposta: ($\sqrt{6}$−$\sqrt{2}$)/4

$\cos(45^{\circ}+30^{\circ})=cos45^{\circ}cos30^{\circ}-sen45^{\circ}sen30^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

Resposta: $\frac{7}{25}$

Usamos $\cos(2x)=2cos^{2}x-1=2\cdot \frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}$.

Resposta: 2$\operatorname{sen}(2x)$cos x

Pela transformação em produto, sen p+sen $q=2sen[\frac{p+q}{2}]\cos[\frac{p-q}{2}]$. Para $p=x$ e $q=3x$, obtemos 2$\operatorname{sen}(2x)$cos x.

Resposta: ($\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$)/4

$\cos(45^{\circ}+30^{\circ})=cos45^{\circ}cos30^{\circ}-sen45^{\circ}sen30^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

Resposta: $\frac{\pi }{2}$ e 3$\frac{\pi }{2}$

O cosseno é a abscissa do ciclo e se anula nos pontos superior e inferior.

Resposta: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

A tangente vale 1 em $\frac{\pi }{4}$ e possui período $\pi$, então $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Resposta: {0,$\frac{\pi }{6},5$$\frac{\pi }{6}$,$\pi$}

Fatoramos sen $x(2sen x-1)=0$. Assim, sen $x=0$ ou sen $x=\frac{1}{2}$, produzindo as quatro soluções indicadas.

Resposta: 1 e 5

No intervalo do argumento [0,2$\pi$), o seno vale $\frac{1}{2}$ em $\frac{\pi }{6}$ e 5$\frac{\pi }{6}$. Assim, $t=1$ ou $t=5$.

Resposta: [0,$\frac{\pi }{2}$)∪(3$\frac{\pi }{2},2$$\pi$)

O cosseno é positivo nos quadrantes I e IV; os pontos em que cos $x=0$ são excluídos.

Resposta: ($\pi$,2$\pi$)

O seno é negativo nos quadrantes III e IV e se anula em $\pi$ e 2$\pi$, que não entram por a desigualdade ser estrita.

Resposta: [0,$\frac{\pi }{2}$)

A tangente é não negativa no primeiro quadrante e vale zero em 0; $\frac{\pi }{2}$ é excluído do domínio.

Resposta: [8,16]

A condição equivale a cosu$\ge \frac{1}{2}$, com $u=\pi \frac{t-12}{12}$ e $u\in [-\pi ,\pi ]$. Então $\left|u\right|\le \frac{\pi }{3}$, isto é, $\left|t-12\right|\le 4$.

Resposta: $\frac{3}{5}$

Seno é cateto oposto dividido pela hipotenusa: sen $\alpha =\frac{3}{5}$.

Resposta: 12 m

Pelo Teorema de Pitágoras, $h^{2}+5^{2}=13^{2}$, então $h^{2}=144$ e $h=12\,\mathrm{m}$.

Resposta: $11{,}54^{\circ}$

sen $\alpha =1,\frac{2}{6}=0{,}2$. Logo, $\alpha =$$arc \operatorname{sen}(0{,}2)$≈$11{,}54^{\circ}$.

Resposta: 10 m

tan$30^{\circ}$=$\frac{h}{10\sqrt{3}}=1/\sqrt{3}$. Portanto, $h=10\,\mathrm{m}$.

Resposta: $\sqrt{39}$ cm

Pela lei dos cossenos, $a^{2}=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{1}{2}=39$. Portanto, $a=\sqrt{39} cm$.

Resposta: 5$\sqrt{2}$ cm

Pela lei dos senos, $\frac{b}{s}$en$45^{\circ}$=$\frac{5}{s}$en$30^{\circ}$=10. Assim, $b=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} cm$.

Resposta: 22 $cm^{2}$

$K=(\frac{1}{2})\cdot 8\cdot 11\cdot sen30^{\circ}=44\cdot \frac{1}{2}=22\,\mathrm{cm}^{2}$.

Resposta: 2$\sqrt{21}$ km

Pela lei dos cossenos, $d^{2}=8^{2}+10^{2}-2\cdot 8\cdot 10\cdot cos60^{\circ}=84$. Logo, $d=\sqrt{84}=2\sqrt{21} km$.

Resposta: 5+3cos(π$\frac{t}{6}$)

A linha média é 5, a amplitude é 3 e $B=\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$. O cosseno começa no máximo.

Resposta: 5 m

O argumento é $\frac{\pi }{2}$ e $\cos(\frac{\pi }{2})=0$. Logo, $H(3)=5\,\mathrm{m}$, exatamente a linha média.

Resposta: 13

A amplitude resultante é $\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$.

Resposta: Não, pois a amplitude máxima é 10

A amplitude da combinação é $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$, então seu módulo nunca alcança 11.

Resposta: -1+$\sqrt{3i}$

$z=2cis60^{\circ}$. Multiplicar por cis$60^{\circ}$ produz 2cis$120^{\circ}$=-1+$\sqrt{3i}$.

Resposta: $\frac{\pi }{3}$, $\pi$ e 5$\frac{\pi }{3}$

Escreva $-8=8$cis$\pi$. Os argumentos das raízes são ($\pi$+2k$\pi$)/3 para $k=0{,}1,2$.