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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

Ampliação e forma algébrica

Questão 1

Fácil

Quanto vale i6i^{6}?

  1. −1
  2. i
  3. −i
  4. 1
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: −1

i6=i4⋅i2=1⋅(−1)=−1i^{6}=i^{4}\cdot i^{2}=1\cdot (-1)=-1.

Questão 2

Médio

Se (a+2i)=(3+bi)(a+2i)=(3+bi), então a+b vale:

  1. 2
  2. 3
  3. 5
  4. 6
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 5

Igualando as partes, a=3a=3 e b=2b=2; a+b=5a+b=5.

Questão 3

Fácil

Uma telemetria é codificada por z=(a−2)+(b+1)iz=(a-2)+(b+1)i e deve coincidir com 5-3i. Quanto vale a+b?

  1. 1
  2. 3
  3. 7
  4. 11
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 3

Igualando as partes, a−2=5daˊa=7-2=5 dá a=7 e b+1=−3daˊb=−4b+1=-3 dá b=-4. Logo, a+b=3a+b=3.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.