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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

Conjugado, módulo e divisão

Questão 1

Médio

Um circuito simplificado exige calcular 10/(1-2i). Qual é o resultado na forma algébrica?

  1. 1+2i
  2. 2+4i
  3. 2-4i
  4. 4+2i
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 2+4i

Multiplicamos por 1+2i: 101+2i1+4=2+4i10\frac{1+2i}{1+4}=2+4i.

Questão 2

Difícil

Um complexo z satisfaz z+z̄=6, z z̄=25 e Im⁡(z)<0\operatorname{Im}(z)<0. Qual é z?

  1. 3-4i
  2. 3+4i
  3. 4-3i
  4. 5-i
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 3-4i

Da soma, Re(z)=3Re(z)=3. Do produto, 32+b2=253^{2}+b^{2}=25, então b=±4b=\pm 4. A parte imaginária negativa escolhe b=−4b=-4.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.