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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

De Moivre e potenciação

Questão 1

Difícil

Calcule (3+i)6(\sqrt{3}+i)^{6} usando a forma polar.

  1. -64
  2. 64
  3. 32i
  4. -32i
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: -64

3+i=2cis(π6)\sqrt{3}+i=2cis(\frac{\pi }{6}). Pela fórmula de De Moivre, a sexta potência é 262^{6}cisπ\pi =-64.

Questão 2

Médio

Um rotor é representado por z=2cis15∘z=2cis15^{\circ}. Qual é z4z^{4} na forma algébrica?

  1. 8+83i\sqrt{3i}
  2. 83\sqrt{3}+8i
  3. 16i
  4. -16
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 8+83i\sqrt{3i}

z4=16cis60∘=16(12+i32)=8+83iz^{4}=16cis60^{\circ}=16(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=8+8\sqrt{3i}.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.