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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

Forma trigonométrica

Questão 1

Médio

O número i possui módulo e argumento principal iguais a:

  1. 1 e 0
  2. 1 e π2\frac{\pi }{2}
  3. π2\frac{\pi }{2} e 1
  4. −1 e π\pi
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 1 e π2\frac{\pi }{2}

O ponto (0,1) está na circunferência unitária e forma ângulo π2\frac{\pi }{2}.

Questão 2

Médio

Um vetor é representado por z=−2+23iz=-2+2\sqrt{3} i. Qual par módulo-argumento principal em [0,2π\pi ) o descreve?

  1. 2 e π3\frac{\pi }{3}
  2. 4 e π3\frac{\pi }{3}
  3. 4 e 2π3\frac{\pi }{3}
  4. 8 e 2π3\frac{\pi }{3}
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 4 e 2π3\frac{\pi }{3}

O módulo é 4+12=4\sqrt{4+12}=4. O ponto está no segundo quadrante e tem ângulo de referência π3\frac{\pi }{3}, logo o argumento é 2π3\frac{\pi }{3}.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.