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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

Operações e potências de i

Questão 1

Fácil

Quanto vale (2+i)+(3−4i)?

  1. 5−3i
  2. 5+5i
  3. −1−3i
  4. 6−4i
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 5−3i

Somamos partes reais e imaginárias: 2+3=52+3=5 e 1−4=−31-4=-3.

Questão 2

Difícil

Quanto vale (1+i)2(1+i)^{2}?

  1. 0
  2. 2
  3. 2i
  4. 1+2i
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 2i

(1+i)2=1+2i+i2=2i(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i.

Questão 3

Médio

Dois filtros são representados por 2+i e 1-2i. Qual complexo representa a composição, dada pelo produto dos filtros?

  1. 4-3i
  2. 4+3i
  3. -3+4i
  4. 5-i
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 4-3i

(2+i)(1−2i)=2−4i+i−2i2=4−3i(1-2i)=2-4i+i-2i^{2}=4-3i.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.