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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

Produto, quociente e rotações

Questão 1

Médio

A posição z=3+4iz=3+4i é girada 90∘90^{\circ} no sentido horário em torno da origem. Qual é a nova posição?

  1. -4+3i
  2. 4-3i
  3. -3-4i
  4. 3-4i
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 4-3i

Uma rotação horária de 90∘90^{\circ} multiplica por -i: (3+4i)(−i)=4−3i(-i)=4-3i.

Questão 2

Fácil

Uma transformação multiplica os pontos por 2cis60∘60^{\circ}. Um segmento de comprimento 7 passa a ter qual comprimento?

  1. 7
  2. 9
  3. 14
  4. 21
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 14

O módulo do fator é 2, então todas as distâncias são duplicadas. O argumento apenas gira o segmento.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.