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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

Raízes da unidade

Questão 1

Fácil

Quais das raízes sextas da unidade possuem parte imaginária estritamente positiva?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 2

Entre os argumentos 0, π3\frac{\pi }{3}, 2π3\frac{\pi }{3}, π\pi , 4π3\frac{\pi }{3} e 5π3\frac{\pi }{3}, somente π3\frac{\pi }{3} e 2π3\frac{\pi }{3} ficam no semiplano superior.

Questão 2

Médio

A raiz ω₅=e^(2πi·512\frac{5}{12}) é uma raiz décima segunda primitiva?

  1. Sim, pois mdc(5,12)=1mdc(5{,}12)=1
  2. Não, pois 5 é ímpar
  3. Não, pois 12 é composto
  4. Sim, pois 5 divide 12
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Sim, pois mdc(5,12)=1mdc(5{,}12)=1

Uma raiz ωₖ é primitiva quando k e n são coprimos. Como mdc(5,12)=1mdc(5{,}12)=1, suas potências percorrem todas as 12 raízes.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.