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Exercícios resolvidos de Números Complexos

Amplie o conjunto numérico, opere com a unidade imaginária e interprete complexos no plano. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Conectar multiplicação por i a uma transformação geométrica.

Antes de começar: Forma a+bi, plano complexo e relação i²=−1.

Uma situação para resolver

O ponto representado por z=3+4iz=3+4i é girado 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem. Qual complexo representa o novo ponto?

  1. Uma rotação de 90∘90^{\circ} no sentido anti-horário é representada pela multiplicação por i.
  2. Distribua: i(3+4i)=3i+4i2i(3+4i)=3i+4i^{2}. Como i2=−1i^{2}=-1, o resultado é −4+3i.
  3. Confira o módulo: os pontos (3,4) e (−4,3) estão ambos a distância 5 da origem, como exige uma rotação.

Conclusão: −4+3i, correspondente ao ponto (−4,3).

Radiciação e equações

Questão 1

Fácil

As raízes de x2+9=0x^{2}+9=0 são:

  1. ±3
  2. ±3i
  3. 3 e 9i
  4. Não existem
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: ±3i

x2=−9x^{2}=-9, portanto x=±3ix=\pm 3i.

Questão 2

Médio

As posições de equilíbrio de um sistema satisfazem z4=16z^{4}=16. Qual conjunto contém todas as soluções?

  1. {±2,±2i}
  2. {±4,±4i}
  3. {2,2i}
  4. {±22\sqrt{2},±22i\sqrt{2i}}
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: {±2,±2i}

O módulo das raízes é 2 e os argumentos são 0, π2\frac{\pi }{2}, π\pi e 3π2\frac{\pi }{2}.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Números Complexos. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.