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Exercícios resolvidos de Polinômios

Estude operações, raízes, fatoração, divisão e comportamento de funções polinomiais. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Usar o Teorema do Fator para construir uma equação a partir de suas raízes.

Antes de começar: Produtos notáveis e propriedade do produto nulo.

Uma situação para resolver

Um polinômio de grau 2 tem coeficiente líder 1 e raízes 2 e −3. Qual é sua forma expandida?

  1. Uma raiz r corresponde ao fator x−r. Assim, P(x)=(x−2)(x+3)P(x)=(x-2)(x+3).
  2. Distribua os produtos: x2+3x−2x−6=x2+x−6x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6.
  3. Verifique: P(2)=4+2−6=0P(2)=4+2-6=0 e P(−3)=9−3−6=0P(-3)=9-3-6=0.

Conclusão: P(x)=x2+x−6P(x)=x^{2}+x-6.

Derivada, raízes comuns e interpolação

Questão 1

Médio

Qual é a multiplicidade da raiz x=1x=1 em P(x)P(x)=x3x^{3}−3x2-3x^{2}+3x-1?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 3

P(x)=(x−1)3P(x)=(x-1)^{3}. Equivalentemente, P, P' e P'' anulam-se em 1, mas P''' não.

Questão 2

Difícil

Uma produção é modelada por um polinômio quadrático P com P(0)=3,P(1)=6P(0)=3, P(1)=6 e P(2)=11P(2)=11. Qual é P(x)P(x)?

  1. x2x^{2}+2x+3
  2. 2x22x^{2}+x+3
  3. x2x^{2}+3x+2
  4. 3x23x^{2}+2x+1
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: x2x^{2}+2x+3

Escrevendo ax2ax^{2}+bx+c, obtemos c=3,a+b=3c=3, a+b=3 e 4a+2b=84a+2b=8. Logo, a=1a=1 e b=2b=2.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Polinômios. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.