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Exercícios resolvidos de Polinômios

Estude operações, raízes, fatoração, divisão e comportamento de funções polinomiais. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Usar o Teorema do Fator para construir uma equação a partir de suas raízes.

Antes de começar: Produtos notáveis e propriedade do produto nulo.

Uma situação para resolver

Um polinômio de grau 2 tem coeficiente líder 1 e raízes 2 e −3. Qual é sua forma expandida?

  1. Uma raiz r corresponde ao fator x−r. Assim, P(x)=(x−2)(x+3)P(x)=(x-2)(x+3).
  2. Distribua os produtos: x2+3x−2x−6=x2+x−6x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6.
  3. Verifique: P(2)=4+2−6=0P(2)=4+2-6=0 e P(−3)=9−3−6=0P(-3)=9-3-6=0.

Conclusão: P(x)=x2+x−6P(x)=x^{2}+x-6.

Divisão euclidiana

Questão 1

Médio

Na divisão de P(x)=x3+2x2+4x+1P(x)=x^{3}+2x^{2}+4x+1 por D(x)D(x)=x2x^{2}+1, qual é o quociente e o resto?

  1. Q=x+2Q=x+2; R=3x−1R=3x-1
  2. Q=x+1Q=x+1; R=3xR=3x
  3. Q=x+2Q=x+2; R=x+1R=x+1
  4. Q=x2+2Q=x^{2}+2; R=4x+1R=4x+1
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Q=x+2Q=x+2; R=3x−1R=3x-1

(x2x^{2}+1)(x+2)+(3x−1)=x3+2x2+x+2+3x−1=P(x)(x+2)+(3x-1)=x^{3}+2x^{2}+x+2+3x-1=P(x).

Questão 2

Difícil

Um algoritmo registra P(x)=2x4+x2+4x+2P(x)=2x^{4}+x^{2}+4x+2. Ao dividir por x2x^{2}-1, qual resto deve reportar?

  1. x+2
  2. 2x+4
  3. 4x+5
  4. x2x^{2}+1
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 4x+5

P=(x2−1)(2x2+3)+(4x+5),P=(x^{2}-1)(2x^{2}+3)+(4x+5), e o resto tem grau 1, menor que o divisor.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Polinômios. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.