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Exercícios resolvidos de Polinômios

Estude operações, raízes, fatoração, divisão e comportamento de funções polinomiais. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Usar o Teorema do Fator para construir uma equação a partir de suas raízes.

Antes de começar: Produtos notáveis e propriedade do produto nulo.

Uma situação para resolver

Um polinômio de grau 2 tem coeficiente líder 1 e raízes 2 e −3. Qual é sua forma expandida?

  1. Uma raiz r corresponde ao fator x−r. Assim, P(x)=(x−2)(x+3)P(x)=(x-2)(x+3).
  2. Distribua os produtos: x2+3x−2x−6=x2+x−6x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6.
  3. Verifique: P(2)=4+2−6=0P(2)=4+2-6=0 e P(−3)=9−3−6=0P(-3)=9-3-6=0.

Conclusão: P(x)=x2+x−6P(x)=x^{2}+x-6.

Equações e Teorema Fundamental

Questão 1

Difícil

Qual é o polinômio real mônico de menor grau que possui -2 e 1+i como raízes?

  1. x3x^{3}-2x+4
  2. x3x^{3}+2x2+2x^{2}+2
  3. x3x^{3}-2x-4
  4. x2x^{2}+x+2
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: x3x^{3}-2x+4

Também devemos incluir 1-i. Assim, (x+2)[(x−1)2(x-1)^{2}+1]=(x+2)(x2−2x+2)=x3−2x+4(x^{2}-2x+2)=x^{3}-2x+4.

Questão 2

Fácil

Um modelo polinomial de grau 7 é analisado no conjunto dos complexos. Quantas raízes ele possui contando multiplicidades?

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 14
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 7

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o número de raízes com multiplicidade coincide com o grau.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Polinômios. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.