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Exercícios resolvidos de Polinômios

Estude operações, raízes, fatoração, divisão e comportamento de funções polinomiais. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Usar o Teorema do Fator para construir uma equação a partir de suas raízes.

Antes de começar: Produtos notáveis e propriedade do produto nulo.

Uma situação para resolver

Um polinômio de grau 2 tem coeficiente líder 1 e raízes 2 e −3. Qual é sua forma expandida?

  1. Uma raiz r corresponde ao fator x−r. Assim, P(x)=(x−2)(x+3)P(x)=(x-2)(x+3).
  2. Distribua os produtos: x2+3x−2x−6=x2+x−6x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6.
  3. Verifique: P(2)=4+2−6=0P(2)=4+2-6=0 e P(−3)=9−3−6=0P(-3)=9-3-6=0.

Conclusão: P(x)=x2+x−6P(x)=x^{2}+x-6.

Multiplicidade e gráficos

Questão 1

Médio

O gráfico de P(x)=(x−2)2(x+1)P(x)=(x-2)^{2}(x+1) atravessa o eixo x em:

  1. x=2x=2 apenas
  2. x=−1x=-1 apenas
  3. x=2x=2 e x=−1x=-1
  4. Nenhuma raiz
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: x=−1x=-1 apenas

Em x=2x=2 a multiplicidade é par e o gráfico toca; em x=−1x=-1 a multiplicidade é ímpar e atravessa.

Questão 2

Médio

O saldo S(t)=(t−1)2(t−4)3S(t)=(t-1)^{2}(t-4)^{3} zera em t=1 e t=4t=4. Em qual instante o gráfico atravessa o eixo?

  1. Somente t=1t=1
  2. Somente t=4t=4
  3. Em ambos
  4. Em nenhum
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Somente t=4t=4

A multiplicidade 2 em t=1t=1 é par e produz toque; a multiplicidade 3 em t=4t=4 é ímpar e produz travessia.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Polinômios. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.