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Exercícios resolvidos de Polinômios

Estude operações, raízes, fatoração, divisão e comportamento de funções polinomiais. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Usar o Teorema do Fator para construir uma equação a partir de suas raízes.

Antes de começar: Produtos notáveis e propriedade do produto nulo.

Uma situação para resolver

Um polinômio de grau 2 tem coeficiente líder 1 e raízes 2 e −3. Qual é sua forma expandida?

  1. Uma raiz r corresponde ao fator x−r. Assim, P(x)=(x−2)(x+3)P(x)=(x-2)(x+3).
  2. Distribua os produtos: x2+3x−2x−6=x2+x−6x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6.
  3. Verifique: P(2)=4+2−6=0P(2)=4+2-6=0 e P(−3)=9−3−6=0P(-3)=9-3-6=0.

Conclusão: P(x)=x2+x−6P(x)=x^{2}+x-6.

Raízes racionais e reais

Questão 1

Médio

Qual dos valores abaixo é raiz de 2x32x^{3}−3x2-3x^{2}-8x+12?

  1. -1
  2. 1
  3. 2
  4. 3
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 2

Substituindo x=2:16−12−16+12=0x=2: 16-12-16+12=0. Portanto, 2 é raiz.

Questão 2

Médio

Para P(x)=x3−4x−1P(x)=x^{3}-4x-1, em qual intervalo a troca de sinal garante uma raiz real?

  1. (0,1)
  2. (1,3)
  3. (3,4)
  4. (4,5)
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: (1,3)

P(1)=−4P(1)=-4 e P(3)=14P(3)=14. Como P é contínuo e os sinais são opostos, existe uma raiz em (1,3).

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Polinômios. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.