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Exercícios resolvidos de Polinômios

Estude operações, raízes, fatoração, divisão e comportamento de funções polinomiais. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Usar o Teorema do Fator para construir uma equação a partir de suas raízes.

Antes de começar: Produtos notáveis e propriedade do produto nulo.

Uma situação para resolver

Um polinômio de grau 2 tem coeficiente líder 1 e raízes 2 e −3. Qual é sua forma expandida?

  1. Uma raiz r corresponde ao fator x−r. Assim, P(x)=(x−2)(x+3)P(x)=(x-2)(x+3).
  2. Distribua os produtos: x2+3x−2x−6=x2+x−6x^{2}+3x-2x-6=x^{2}+x-6.
  3. Verifique: P(2)=4+2−6=0P(2)=4+2-6=0 e P(−3)=9−3−6=0P(-3)=9-3-6=0.

Conclusão: P(x)=x2+x−6P(x)=x^{2}+x-6.

Transformações e recíprocas

Questão 1

Médio

As raízes de P(x)P(x) são -1 e 3. Quais são as raízes de Q(y)=P(y+4)Q(y)=P(y+4)?

  1. -5 e -1
  2. 3 e 7
  3. -4 e 4
  4. 1 e 5
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: -5 e -1

Q(y)=0Q(y)=0 quando y+4=-1 ou y+4=3y+4=3. Portanto, y=−5y=-5 ou y=−1y=-1.

Questão 2

Difícil

Em um polinômio recíproco, 2+3\sqrt{3} é raiz. Qual raiz deve acompanhá-la pela simetria recíproca?

  1. 2-3\sqrt{3}
  2. -2+3\sqrt{3}
  3. 1/(2-3\sqrt{3})
  4. -2-3\sqrt{3}
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 2-3\sqrt{3}

A raiz companheira é 1/(2+3\sqrt{3}). Racionalizando, 12+3=2−3\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Polinômios. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.