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Exercícios resolvidos de Progressões

Estude sequências, progressões aritméticas e geométricas, somas e modelos de crescimento. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Identificar a razão de uma PA e somar seus termos com significado.

Antes de começar: Sequências, multiplicação e identificação do primeiro termo.

Uma situação para resolver

Uma campanha recebe 120 doações no primeiro dia e 15 a mais a cada dia seguinte. Quantas doações recebe ao longo de sete dias?

  1. As quantidades formam uma PA com primeiro termo 120 e razão 15.
  2. O sétimo termo vem após seis aumentos: a7=120+6⋅15=210a_{7}=120+6\cdot 15=210.
  3. A média entre o primeiro e o último termo é 165. Multiplicando pelos sete dias: S7=7⋅165=1155S_{7}=7\cdot 165=1155.

Conclusão: 1.155 doações no total dos sete dias.

Somas em PG

Questão 1

Difícil

Qual é a soma infinita 12+6+3+…?

  1. 18
  2. 21
  3. 24
  4. Não converge
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Resposta: 24

S=121−12=24S=\frac{12}{1-\frac{1}{2}}=24.

Questão 2

Médio

Qual é a soma dos 7 primeiros termos da PG 5, 15, 45, …?

  1. 3.640
  2. 5.465
  3. 10.930
  4. 16.395
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 5.465

S7=537−13−1=5(2S_{7}=5\frac{3^{7}-1}{3-1}=5(2.187−1)/2=52=5.465.

Questão 3

Fácil

Qual é a soma infinita 20+10+5+2,5+⋯?

  1. 30
  2. 35
  3. 40
  4. Não converge
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 40

A razão é 12\frac{1}{2}, com módulo menor que 1. S=201−12=40S=\frac{20}{1-\frac{1}{2}}=40.

Questão 4

Fácil

A série 4+4,4+4,84+⋯ possui razão 1,1. Ela:

  1. Converge para 40
  2. Converge para 44
  3. Converge para 4,4
  4. Não converge
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Não converge

Uma série geométrica infinita não nula converge apenas quando ∣q∣<1\left|q\right|<1. Aqui q=1,1q=1{,}1.

Questão 5

Difícil

Uma bola cai de 8 m e sobe 50% da altura anterior após cada impacto. Qual distância total percorre?

  1. 16 m
  2. 20 m
  3. 24 m
  4. 32 m
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 24 m

A primeira queda é 8 m. As subidas somam 41−0,5=8 m\frac{4}{1-0{,}5}=8\,\mathrm{m} e as descidas posteriores somam mais 8 m. Total: 8+8+8=24 m8+8+8=24\,\mathrm{m}.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Progressões. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.