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Exercícios resolvidos de Trigonometria

Relacione arcos, funções circulares e triângulos para interpretar medidas, gráficos e fenômenos periódicos. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Escolher a razão trigonométrica a partir dos lados realmente conhecidos.

Antes de começar: Triângulo retângulo, hipotenusa e seno de 30°.

Uma situação para resolver

Uma rampa reta tem 6 m de comprimento e faz $30^{\circ}$ com o solo horizontal. Que desnível vertical ela vence?

O comprimento da rampa é a hipotenusa; o desnível é o cateto oposto ao ângulo de $30^{\circ}$ .
Use sen $30^{\circ}$ = $\frac{h}{6}$ . Como sen $30^{\circ}$ = $\frac{1}{2}$ , temos $h=6\cdot \frac{1}{2}=3$ .
Confira a interpretação: 3 m é uma altura, não a distância horizontal percorrida.

Conclusão: 3 m de desnível vertical.

Equações trigonométricas

Questão 1

Fácil

Quais são as soluções de cos $x=0$ em [0,2 $\pi$ )?

0 e $\pi$
$\frac{\pi }{2}$ e 3 $\frac{\pi }{2}$
$\frac{\pi }{4}$ e 5 $\frac{\pi }{4}$
$\frac{\pi }{3}$ e 5 $\frac{\pi }{3}$

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: $\frac{\pi }{2}$ e 3 $\frac{\pi }{2}$

O cosseno é a abscissa do ciclo e se anula nos pontos superior e inferior.

Questão 2

Médio

Qual é a solução geral de tan $x=1$ ?

$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$
$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$
$x=\frac{3\pi }{4}+k\pi$
$x=k\pi$

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

A tangente vale 1 em $\frac{\pi }{4}$ e possui período $\pi$ , então $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ .

Questão 3

Difícil

Resolva 2 $\operatorname{sen}^{2}$ x−sen $x=0$ em [0,2 $\pi$ ).

{0, $\pi$ }
{ $\frac{\pi }{6},5$ $\frac{\pi }{6}$ }
{0, $\frac{\pi }{6},5$ $\frac{\pi }{6}$ , $\pi$ }
{ $\frac{\pi }{2},3$ $\frac{\pi }{2}$ }

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: {0, $\frac{\pi }{6},5$ $\frac{\pi }{6}$ , $\pi$ }

Fatoramos sen $x(2sen x-1)=0$ . Assim, sen $x=0$ ou sen $x=\frac{1}{2}$ , produzindo as quatro soluções indicadas.

Questão 4

Médio

Um ciclo anual é simplificado por $\operatorname{sen}(\frac{\pi t}{6})=\frac{1}{2}$ , com $0\le t<12$ meses. Em quais meses t ocorre o nível indicado?

1 e 5
2 e 4
3 e 9
5 e 11

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 1 e 5

No intervalo do argumento [0,2 $\pi$ ), o seno vale $\frac{1}{2}$ em $\frac{\pi }{6}$ e 5 $\frac{\pi }{6}$ . Assim, $t=1$ ou $t=5$ .

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Trigonometria. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.