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Exercícios resolvidos de Trigonometria

Relacione arcos, funções circulares e triângulos para interpretar medidas, gráficos e fenômenos periódicos. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Escolher a razão trigonométrica a partir dos lados realmente conhecidos.

Antes de começar: Triângulo retângulo, hipotenusa e seno de 30°.

Uma situação para resolver

Uma rampa reta tem 6 m de comprimento e faz $30^{\circ}$ com o solo horizontal. Que desnível vertical ela vence?

O comprimento da rampa é a hipotenusa; o desnível é o cateto oposto ao ângulo de $30^{\circ}$ .
Use sen $30^{\circ}$ = $\frac{h}{6}$ . Como sen $30^{\circ}$ = $\frac{1}{2}$ , temos $h=6\cdot \frac{1}{2}=3$ .
Confira a interpretação: 3 m é uma altura, não a distância horizontal percorrida.

Conclusão: 3 m de desnível vertical.

Relações fundamentais

Questão 1

Fácil

Se sen $x=\frac{12}{13}$ e x está no 2º quadrante, quanto vale cos x?

− $\frac{5}{13}$
$\frac{5}{13}$
− $\frac{12}{13}$
$\frac{12}{13}$

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Resposta: − $\frac{5}{13}$

$\cos^{2}$ $x=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$ . No 2º quadrante, o cosseno é negativo: cos $x=-\frac{5}{13}$ .

Questão 2

Médio

Se tan $x=2$ e x está no 1º quadrante, quanto vale sec x?

$\sqrt{3}$
2
$\sqrt{5}$
3

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Resposta: $\sqrt{5}$

Pela relação 1 $+\tan^{2}$ $x=sec^{2}x$ , temos $sec^{2}$ $x=5$ . No 1º quadrante, sec $x=\sqrt{5}$ .

Questão 3

Difícil

Simplifique (1 $+\tan^{2}$ x)· $\cos^{2}$ x, nos valores em que a expressão existe.

0
1
$\operatorname{sen}^{2}$ x
$\tan^{2}$ x

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Resposta: 1

Como 1 $+\tan^{2}$ $x=sec^{2}x$ e $sec^{2}$ x· $\cos^{2}$ $x=1$ , a expressão é igual a 1.

Questão 4

Médio

Um sensor informa sen $\theta =\frac{5}{13}$ para um ângulo do primeiro quadrante. Qual é tanθ?

$\frac{5}{12}$
$\frac{12}{5}$
$\frac{5}{13}$
$\frac{12}{13}$

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Resposta: $\frac{5}{12}$

Pela identidade fundamental, cos $\theta =\frac{12}{13}$ . Logo, tan $\theta =\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$ .

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Trigonometria. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.