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Exercícios resolvidos de Trigonometria

Relacione arcos, funções circulares e triângulos para interpretar medidas, gráficos e fenômenos periódicos. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Escolher a razão trigonométrica a partir dos lados realmente conhecidos.

Antes de começar: Triângulo retângulo, hipotenusa e seno de 30°.

Uma situação para resolver

Uma rampa reta tem 6 m de comprimento e faz $30^{\circ}$ com o solo horizontal. Que desnível vertical ela vence?

O comprimento da rampa é a hipotenusa; o desnível é o cateto oposto ao ângulo de $30^{\circ}$ .
Use sen $30^{\circ}$ = $\frac{h}{6}$ . Como sen $30^{\circ}$ = $\frac{1}{2}$ , temos $h=6\cdot \frac{1}{2}=3$ .
Confira a interpretação: 3 m é uma altura, não a distância horizontal percorrida.

Conclusão: 3 m de desnível vertical.

Triângulos quaisquer

Questão 1

Fácil

Dois lados de um triângulo medem 5 cm e 7 cm, e o ângulo entre eles mede $60^{\circ}$ . Quanto mede o lado oposto a esse ângulo?

$\sqrt{29}$ cm
$\sqrt{39}$ cm
6 cm
8 cm

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Resposta: $\sqrt{39}$ cm

Pela lei dos cossenos, $a^{2}=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{1}{2}=39$ . Portanto, $a=\sqrt{39} cm$ .

Questão 2

Médio

Em um triângulo, $A=30^{\circ}, B=45^{\circ}$ e $a=5\,\mathrm{cm}$ . Quanto mede b?

5 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm
5 $\sqrt{2}$ cm
5 $\sqrt{3}$ cm
10 cm

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Resposta: 5 $\sqrt{2}$ cm

Pela lei dos senos, $\frac{b}{s}$ en $45^{\circ}$ = $\frac{5}{s}$ en $30^{\circ}$ =10. Assim, $b=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} cm$ .

Questão 3

Difícil

Qual é a área de um triângulo com lados 8 cm e 11 cm formando entre si um ângulo de $30^{\circ}$ ?

19 $cm^{2}$
22 $cm^{2}$
44 $cm^{2}$
88 $cm^{2}$

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Resposta: 22 $cm^{2}$

$K=(\frac{1}{2})\cdot 8\cdot 11\cdot sen30^{\circ}=44\cdot \frac{1}{2}=22\,\mathrm{cm}^{2}$ .

Questão 4

Médio

Duas rotas de 8 km e 10 km partem do mesmo ponto formando $60^{\circ}$ . Qual é a distância entre seus destinos?

2 $\sqrt{17}$ km
2 $\sqrt{21}$ km
6 $\sqrt{3}$ km
12 km

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Resposta: 2 $\sqrt{21}$ km

Pela lei dos cossenos, $d^{2}=8^{2}+10^{2}-2\cdot 8\cdot 10\cdot cos60^{\circ}=84$ . Logo, $d=\sqrt{84}=2\sqrt{21} km$ .

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Trigonometria. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.