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Exercícios resolvidos de Álgebra

Construa raciocínio algébrico com sistemas de numeração, indução, divisibilidade, congruências e polinômios. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Interpretar o máximo divisor comum como uma quantidade máxima de grupos iguais.

Antes de começar: Divisibilidade e divisão com resto.

Uma situação para resolver

Uma escola possui 72 lápis e 54 borrachas. Quer montar o maior número de kits idênticos, usando todos os itens. Quantos kits serão feitos?

  1. O número de kits precisa dividir 72 e 54. Procuramos o maior divisor comum.
  2. Pelo algoritmo de Euclides: 72=54+1872=54+18 e 54=3⋅1854=3\cdot 18. O último resto não nulo é 18.
  3. Divida os itens entre 18 kits: cada kit recebe 7218=4\frac{72}{18}=4 lápis e 5418=3\frac{54}{18}=3 borrachas.

Conclusão: 18 kits, cada um com 4 lápis e 3 borrachas.

Congruências

Questão 1

Médio

Qual é o resto de 3153^{15} na divisão por 7?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 6
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 6

Como 363^{6}≡1 (mod 7) e 15=2⋅6+315=2\cdot 6+3, temos 3153^{15}≡33=27≡6(mod7)3^{3}=27≡6 (mod 7).

Questão 2

Difícil

Quais classes resolvem 4x≡6 (mod 10)?

  1. x≡1 ou 6 (mod 10)
  2. x≡2 ou 7 (mod 10)
  3. x≡4 ou 9 (mod 10)
  4. x≡5 (mod 10)
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: x≡4 ou 9 (mod 10)

Dividindo por mdc(4,10)=2:2x≡3(mod5)mdc(4{,}10)=2: 2x≡3 (mod 5). O inverso de 2 é 3, então x≡4 (mod 5), isto é, 4 ou 9 módulo 10.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Álgebra. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.