Construa raciocínio algébrico com sistemas de numeração, indução, divisibilidade, congruências e polinômios. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.
DO CONCEITO À APLICAÇÃO
O que observar ao estudar
Objetivo: Interpretar o máximo divisor comum como uma quantidade máxima de grupos iguais.
Antes de começar: Divisibilidade e divisão com resto.
Uma situação para resolver
Uma escola possui 72 lápis e 54 borrachas. Quer montar o maior número de kits idênticos, usando todos os itens. Quantos kits serão feitos?
O número de kits precisa dividir 72 e 54. Procuramos o maior divisor comum.
Pelo algoritmo de Euclides: 72=54+18 e 54=3⋅18. O último resto não nulo é 18.
Divida os itens entre 18 kits: cada kit recebe 1872=4 lápis e 1854=3 borrachas.
Conclusão:18 kits, cada um com 4 lápis e 3 borrachas.
Equações diofantinas
Questão 1
Fácil
A equação 14x+21y=20 possui solução inteira?
Sim, porque 14 divide 20
Sim, porque 21 é múltiplo de 7
Não, porque 7 não divide 20
Não, porque x e y seriam positivos
Ver resposta e resolução comentada
Resposta: Não, porque 7 não divide 20
O mdc(14,21)=7. Uma solução inteira existe somente se 7 dividir o termo 20, o que não ocorre.
Questão 2
Difícil
Qual família descreve todas as soluções inteiras de 4x+7y=1?
x=2+7t e y=−1−4t
x=2+4t e y=−1−7t
x=−2+7t e y=1−4t
x=2+7t e y=1+4t
Ver resposta e resolução comentada
Resposta: x=2+7t e y=−1−4t
(2,−1) é solução, pois 8−7=1. Todas são x=2+7t e y=−1−4t, com t inteiro.
Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Álgebra. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.