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Exercícios resolvidos de Álgebra

Construa raciocínio algébrico com sistemas de numeração, indução, divisibilidade, congruências e polinômios. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Interpretar o máximo divisor comum como uma quantidade máxima de grupos iguais.

Antes de começar: Divisibilidade e divisão com resto.

Uma situação para resolver

Uma escola possui 72 lápis e 54 borrachas. Quer montar o maior número de kits idênticos, usando todos os itens. Quantos kits serão feitos?

  1. O número de kits precisa dividir 72 e 54. Procuramos o maior divisor comum.
  2. Pelo algoritmo de Euclides: 72=54+1872=54+18 e 54=3⋅1854=3\cdot 18. O último resto não nulo é 18.
  3. Divida os itens entre 18 kits: cada kit recebe 7218=4\frac{72}{18}=4 lápis e 5418=3\frac{54}{18}=3 borrachas.

Conclusão: 18 kits, cada um com 4 lápis e 3 borrachas.

Polinômios, raízes e fatoração

Questão 1

Fácil

Qual é o resto de P(x)=x3+2x−5naP(x)=x^{3}+2x-5 na divisão por x−3?

  1. 14
  2. 22
  3. 28
  4. 32
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Resposta: 28

Pelo Teorema do Resto, calcule P(3)=27+6−5=28P(3)=27+6-5=28.

Questão 2

Médio

Qual é a fatoração de x3x^{3}+2x2+2x^{2}−x−2?

  1. (x+2)(x−1)(x+1)
  2. (x−2)(x−1)(x+1)
  3. (x+2)(x2x^{2}+1)
  4. x(x+2)x(x+2)(x−1)
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Resposta: (x+2)(x−1)(x+1)

Agrupando: x2x^{2}(x+2)−1(x+2)=(x+2)(x2−1)=(x+2)(x−1)(x+1)(x+2)-1(x+2)=(x+2)(x^{2}-1)=(x+2)(x-1)(x+1).

Questão 3

Difícil

Qual polinômio é irredutível sobre os números reais?

  1. x2x^{2}−4
  2. x2x^{2}+4
  3. x2x^{2}−2x+1
  4. x2x^{2}+x
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Resposta: x2x^{2}+4

x2x^{2}+4 não possui raiz real e, por ter grau 2, não se fatora em polinômios lineares reais.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Álgebra. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.