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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, A=(1,2)A=(1{,}2) e B=(7,10)B=(7{,}10). Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

  1. As diferenças horizontal e vertical são 7−1=67-1=6 e 10−2=810-2=8.
  2. Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é d=62+82=100=10d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10.
  3. Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Cônicas: foco e diretriz

Questão 1

Fácil

Uma cônica possui excentricidade e=1e=1. Como ela é classificada?

  1. Circunferência
  2. Elipse
  3. Parábola
  4. Hipérbole
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Parábola

Na definição foco-diretriz, e=1e=1 caracteriza a parábola.

Questão 2

Médio

Quais são as diretrizes da elipse x216+y27=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1?

  1. x=±43x=\pm \frac{4}{3}
  2. x=±163x=\pm \frac{16}{3}
  3. y=±163y=\pm \frac{16}{3}
  4. x=±3x=\pm 3
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: x=±163x=\pm \frac{16}{3}

a=4,c=16−7=3a=4, c=\sqrt{16-7}=3 e e=34e=\frac{3}{4}. Assim, x=±ae=±163x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{16}{3}.

Questão 3

Difícil

Qual é o comprimento do latus rectum da elipse x225+y29=1\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1?

  1. 95\frac{9}{5}
  2. 185\frac{18}{5}
  3. 6
  4. 10
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 185\frac{18}{5}

Para uma elipse horizontal, L=2b2a=2⋅95=185L=\frac{2b^{2}}{a}=2\cdot \frac{9}{5}=\frac{18}{5}.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.