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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, A=(1,2)A=(1{,}2) e B=(7,10)B=(7{,}10). Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

  1. As diferenças horizontal e vertical são 7−1=67-1=6 e 10−2=810-2=8.
  2. Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é d=62+82=100=10d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10.
  3. Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Circunferência e cônicas

Questão 1

Fácil

Qual é o raio de (x+1)2+(y−4)2=25(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=25?

  1. 4
  2. 5
  3. 25
  4. 252\frac{\sqrt{25}}{2}
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 5

r2=25r^{2}=25, logo r=5r=5.

Questão 2

Difícil

O ponto (3,4) pertence à circunferência x2+y2=25x^{2}+y^{2}=25?

  1. Sim
  2. Não, está dentro
  3. Não, está fora
  4. Não é possível saber
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Sim

32+42=9+16=253^{2}+4^{2}=9+16=25.

Questão 3

Fácil

Qual é o centro de x2+y2+8x−6y+9=0x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0?

  1. (4,−3)
  2. (−4,3)
  3. (−8,6)
  4. (8,−6)
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Resposta: (−4,3)

Completando quadrados: (x+4)2+(y−3)2=16(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=16, portanto o centro é (−4,3).

Questão 4

Médio

A reta tangente à circunferência x2+y2=13nox^{2}+y^{2}=13 no ponto (2,3) tem qual equação?

  1. 2x+3y=132x+3y=13
  2. 3x+2y=133x+2y=13
  3. 2x−3y=132x-3y=13
  4. x+y=5x+y=5
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Resposta: 2x+3y=132x+3y=13

O raio (2,3) é normal à tangente. Assim, 2(x−2)+3(y−3)=02(x-2)+3(y-3)=0, ou 2x+3y=132x+3y=13.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.