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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, A=(1,2)A=(1{,}2) e B=(7,10)B=(7{,}10). Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

  1. As diferenças horizontal e vertical são 7−1=67-1=6 e 10−2=810-2=8.
  2. Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é d=62+82=100=10d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10.
  3. Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Classificação e transformações

Questão 1

Fácil

Pelo sinal de B2B^{2}−4AC, a equação 2x2+2y2−8=02x^{2}+2y^{2}-8=0 é do tipo:

  1. Elíptico
  2. Parabólico
  3. Hiperbólico
  4. Linear
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Elíptico

A=2,B=0A=2, B=0 e C=2:B2−4AC=−16<0C=2: B^{2}-4AC=-16<0, indicando tipo elíptico.

Questão 2

Médio

Qual é o centro de x2+4y2−6x+8y−3=0x^{2}+4y^{2}-6x+8y-3=0?

  1. (−3,−1)
  2. (3,−1)
  3. (3,1)
  4. (−3,1)
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: (3,−1)

Completando quadrados, x2x^{2}−6x centra em x=3x=3 e y2y^{2}+2y centra em y=−1y=-1.

Questão 3

Difícil

A equação 5x25x^{2}+6xy+5y2=8xy+5y^{2}=8 representa qual tipo de cônica real?

  1. Elipse rotacionada
  2. Parábola
  3. Hipérbole
  4. Duas retas
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Elipse rotacionada

B2B^{2}−4AC=36−100<0AC=36-100<0 e a forma quadrática é positiva, portanto é uma elipse com eixos rotacionados.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.