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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, $A=(1{,}2)$ e $B=(7{,}10)$ . Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

As diferenças horizontal e vertical são $7-1=6$ e $10-2=8$ .
Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é $d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$ .
Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Parábola, elipse e hipérbole

Questão 1

Médio

Qual é o foco da parábola $x^{2}=20y$ ?

(0,4)
(0,5)
(5,0)
(0,20)

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: (0,5)

Compare $x^{2}=4py: 4p=20$ , então $p=5$ e o foco é (0,5).

Questão 2

Difícil

Quais são os focos da elipse $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$ ?

(±2,0)
(±4,0)
(± $\sqrt{56}$ ,0)
(0,±4)

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: (±4,0)

$a^{2}=36$ e $b^{2}=20$ . Logo, $c^{2}=a^{2}-b^{2}=16, c=4$ , com focos no eixo x.

Questão 3

Difícil

Quais são as assíntotas de $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ ?

$y=\pm (\frac{3}{4})x$
$y=\pm (\frac{4}{3})x$
$y=\pm (\frac{7}{12})x$
$x=\pm 3$

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: $y=\pm (\frac{4}{3})x$

Para $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , as assíntotas são $y=\pm (\frac{b}{a})x$ . Aqui $a=3$ e $b=4$ .

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.