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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, $A=(1{,}2)$ e $B=(7{,}10)$ . Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

As diferenças horizontal e vertical são $7-1=6$ e $10-2=8$ .
Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é $d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$ .
Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Parametrizações e interseções

Questão 1

Fácil

Na elipse $x=5cos t, y=2sen t$ , qual ponto corresponde a $t=\frac{\pi }{2}$ ?

(5,0)
(0,2)
(−5,0)
(0,−2)

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: (0,2)

$\cos(\frac{\pi }{2})=0$ e $\operatorname{sen}(\frac{\pi }{2})=1$ , então $(x,y)=(0{,}2)$ .

Questão 2

Médio

Quantos pontos comuns têm a reta $y=4$ e a circunferência $x^{2}+y^{2}=16$ ?

Nenhum
Um
Dois
Infinitos

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Um

Substituindo $y=4$ , obtemos $x^{2}+16=16$ , portanto $x=0$ é raiz dupla: há tangência em (0,4).

Questão 3

Difícil

A reta $y=k$ intersecta a elipse $x^{2}$ /25 $+y^{2}$ /9=1 em dois pontos distintos quando:

$\left|k\right|<3$
$\left|k\right|=3$
$\left|k\right|>3$
$k=0$ apenas

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: $\left|k\right|<3$

Após substituir $y=k$ , existe x não nulo real quando $1-\frac{k^{2}}{9}>0$ , isto é, $\left|k\right|<3$ .

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.