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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, A=(1,2)A=(1{,}2) e B=(7,10)B=(7{,}10). Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

  1. As diferenças horizontal e vertical são 7−1=67-1=6 e 10−2=810-2=8.
  2. Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é d=62+82=100=10d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10.
  3. Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Posições relativas e ângulos

Questão 1

Médio

As retas y=4x+1y=4x+1 e y=4x−7y=4x-7 são:

  1. Coincidentes
  2. Paralelas
  3. Perpendiculares
  4. Secantes não perpendiculares
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Paralelas

Possuem o mesmo coeficiente angular e interceptos diferentes.

Questão 2

Médio

As retas de vetores diretores u=(1,2,−1)u=(1{,}2,-1) e v=(−2,−4,2)v=(-2,-4{,}2) são:

  1. Paralelas
  2. Perpendiculares
  3. Sempre concorrentes
  4. Necessariamente reversas
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Paralelas

v=−2uv=-2u, então os vetores são proporcionais e as retas têm direções paralelas.

Questão 3

Difícil

Qual é o ângulo agudo entre vetores u=(1,0,1)u=(1{,}0,1) e v=(1,0,−1)v=(1{,}0,-1)?

  1. 0∘0^{\circ}
  2. 45∘45^{\circ}
  3. 90∘90^{\circ}
  4. 180∘180^{\circ}
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 90∘90^{\circ}

u⋅v=1−1=0u\cdot v=1-1=0. Vetores não nulos com produto escalar zero são ortogonais.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.