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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, A=(1,2)A=(1{,}2) e B=(7,10)B=(7{,}10). Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

  1. As diferenças horizontal e vertical são 7−1=67-1=6 e 10−2=810-2=8.
  2. Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é d=62+82=100=10d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10.
  3. Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Produto escalar e vetorial

Questão 1

Médio

Os vetores u=(2,−1,3)u=(2,-1{,}3) e v=(1,5,1)v=(1{,}5,1) são ortogonais?

  1. Sim, pois u⋅v=0u\cdot v=0
  2. Sim, pois têm o mesmo módulo
  3. Não, pois u⋅v=2u\cdot v=2
  4. Não, pois são paralelos
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: Sim, pois u⋅v=0u\cdot v=0

u⋅v=2⋅1+(−1)⋅5+3⋅1=2−5+3=0u\cdot v=2\cdot 1+(-1)\cdot 5+3\cdot 1=2-5+3=0, logo são ortogonais.

Questão 2

Difícil

Qual é a área do paralelogramo gerado por u=(3,0,0)u=(3{,}0,0) e v=(0,4,0)v=(0{,}4,0)?

  1. 6
  2. 7
  3. 12
  4. 24
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 12

Os vetores são perpendiculares; a área é ∣u×v∣=∣u∣∣v∣=3⋅4=12\left|u\times v\right|=\left|u\right|\left|v\right|=3\cdot 4=12.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.