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Exercícios resolvidos de Geometria Analítica

Relacione coordenadas, vetores, retas, planos, distâncias e cônicas no plano e no espaço. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Relacionar diferenças de coordenadas ao Teorema de Pitágoras.

Antes de começar: Plano cartesiano, quadrados e raiz quadrada.

Uma situação para resolver

Num mapa cartesiano, $A=(1{,}2)$ e $B=(7{,}10)$ . Cada unidade representa 1 km. Qual é a distância em linha reta entre eles?

As diferenças horizontal e vertical são $7-1=6$ e $10-2=8$ .
Essas diferenças são catetos de um triângulo retângulo. A distância é $d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$ .
Como cada unidade vale 1 km, a distância é 10 km. Esse valor não representa necessariamente um trajeto por ruas.

Conclusão: 10 km em linha reta.

Tangentes e polares

Questão 1

Fácil

Qual é a tangente à elipse $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 no$ ponto (3,0)?

$x=3$
$y=3$
$3x+2y=1$
$x+y=3$

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: $x=3$

A fórmula $\frac{xx_{0}}{9}+\frac{yy_{0}}{4}=1$ fornece 3 $\frac{x}{9}$ =1, isto é, $x=3$ .

Questão 2

Médio

A reta $y=mx+5$ é tangente à parábola $y^{2}$ =20x. Qual é m?

$\frac{1}{4}$
1
4
5

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 1

Substituindo $x=\frac{y-5}{m}$ em $y^{2}$ =20x, a condição Δ=0 resulta em 400−400m=0, logo $m=1$ .

Questão 3

Difícil

Para $F(x,y)=x^{2}+4y^{2}-16$ , qual vetor é normal à elipse no ponto (0,2)?

(0,2)
(0,8)
(2,0)
(1,4)

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: (0,8)

∇ $F=(2x,8y)$ . Em (0,2), ∇ $F=(0{,}16)$ , paralelo a (0,8), que é normal.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Geometria Analítica. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.