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Exercícios resolvidos de Matrizes e Sistemas

Organize dados em matrizes, opere, calcule determinantes e inversas, escalone e resolva sistemas lineares. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Modelar duas restrições simultâneas e verificar ambas após resolver o sistema.

Antes de começar: Equações do primeiro grau e substituição.

Uma situação para resolver

Um grupo comprou 8 ingressos: inteiras a R$ 20 e meias a R$ 10. O total foi R$ 120. Quantos ingressos de cada tipo foram comprados?

  1. Se x é o número de inteiras e y o de meias, então x+y=8x+y=8 e 20x+10y=12020x+10y=120.
  2. Divida a segunda equação por 10: 2x+y=122x+y=12. Subtraindo a primeira, resulta x=4x=4.
  3. Na contagem total, y=8−4=4y=8-4=4. Confira o preço: 4⋅20+4⋅10=1204\cdot 20+4\cdot 10=120.

Conclusão: 4 inteiras e 4 meias.

Matrizes e representação

Questão 1

Fácil

Quantos elementos possui uma matriz de ordem 4×3?

  1. 7
  2. 12
  3. 16
  4. 64
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Resposta: 12

Uma matriz 4×3 possui 4⋅3=124\cdot 3=12 elementos.

Questão 2

Médio

Se A=[aij]A=[a_{ij}] e aia_{i}ⱼ=2i−j, quanto vale a23a_{23}?

  1. −1
  2. 1
  3. 2
  4. 7
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Resposta: 1

a23=2⋅2−3=1a_{23}=2\cdot 2-3=1.

Questão 3

Fácil

Em uma matriz A de ordem 4×3, qual posição é indicada por a32a_{32}?

  1. Linha 2, coluna 3
  2. Linha 3, coluna 2
  3. Terceira diagonal
  4. Elemento número 32
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Resposta: Linha 3, coluna 2

O primeiro índice identifica a linha e o segundo identifica a coluna.

Questão 4

Médio

Se A=[aij]2x2A=[a_{ij}]_{2x2} e aia_{i}ⱼ=i2i^{2}+2j, qual é a soma dos elementos de A?

  1. 18
  2. 22
  3. 24
  4. 28
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Resposta: 22

A=[[3,5],[6,8]]A=[[3{,}5],[6{,}8]]. A soma é 3+5+6+8=223+5+6+8=22.

Operações matriciais

Questão 1

Fácil

Se A=[[1,2],[3,4]]A=[[1{,}2],[3{,}4]] e B=[[2,0],[1,5]]B=[[2{,}0],[1{,}5]], qual é A+B?

  1. [[3,2],[4,9]]
  2. [[2,0],[3,20]]
  3. [[3,0],[3,9]]
  4. [[1,2],[1,5]]
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Resposta: [[3,2],[4,9]]

Somamos elementos correspondentes.

Questão 2

Difícil

Se A é 2×3 e B é 3×4, qual é a ordem de AB?

  1. 2×4
  2. 3×3
  3. 3×4
  4. Produto inexistente
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Resposta: 2×4

O produto conserva as dimensões externas: 2×4.

Questão 3

Fácil

Se A=[[2,−1],[3,4]]A=[[2,-1],[3{,}4]] e B=[[5,2],[−3,1]]B=[[5{,}2],[-3{,}1]], qual é A+B?

  1. [[7,1],[0,5]]
  2. [[10,−2],[−9,4]]
  3. [[3,3],[6,3]]
  4. [[7,−3],[6,5]]
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Resposta: [[7,1],[0,5]]

Somamos entradas correspondentes: 2+5=7,−1+2=1,3−3=02+5=7, -1+2=1, 3-3=0 e 4+1=54+1=5.

Questão 4

Médio

Calcule o elemento (1,2) de AB, com A=[[1,3],[2,−1]]A=[[1{,}3],[2,-1]] e B=[[4,2],[5,0]]B=[[4{,}2],[5{,}0]].

  1. 2
  2. 4
  3. 10
  4. 14
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Resposta: 2

Multiplique a primeira linha de A pela segunda coluna de B: 1⋅2+3⋅0=21\cdot 2+3\cdot 0=2.

Questão 5

Difícil

Se A é 3×2, B é 2×4 e C é 4×1, qual é a ordem de (AB)C?

  1. 2×1
  2. 3×1
  3. 3×4
  4. O produto não existe
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Resposta: 3×1

AB tem ordem 3×4; ao multiplicá-lo por C, de ordem 4×1, resulta uma matriz 3×1.

Determinantes

Questão 1

Fácil

Calcule det[[5,2],[1,3]].

  1. 7
  2. 13
  3. 15
  4. 17
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Resposta: 13

5⋅3−2⋅1=135\cdot 3-2\cdot 1=13.

Questão 2

Fácil

Quanto vale det([[7,3],[2,5]])det([[7{,}3],[2{,}5]])?

  1. 13
  2. 29
  3. 35
  4. 41
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Resposta: 29

Para ordem 2: 7⋅5−3⋅2=35−6=297\cdot 5-3\cdot 2=35-6=29.

Questão 3

Médio

Qual é o determinante de uma matriz triangular cuja diagonal principal é 2, −3 e 5?

  1. −30
  2. −10
  3. 4
  4. 30
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Resposta: −30

O determinante de uma matriz triangular é o produto da diagonal: 2⋅(−3)⋅5=−302\cdot (-3)\cdot 5=-30.

Questão 4

Difícil

Uma matriz B é obtida de A trocando duas linhas e depois multiplicando uma linha por 4. Se det(A)=−3det(A)=-3, quanto vale det(B)det(B)?

  1. −12
  2. −34\frac{3}{4}
  3. 3
  4. 12
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Resposta: 12

A troca muda o sinal: −3 passa a 3. Multiplicar uma linha por 4 multiplica o determinante por 4: det(B)=12det(B)=12.

Matriz inversa

Questão 1

Médio

Qual condição garante que uma matriz quadrada A possui inversa?

  1. det(A)=0det(A)=0
  2. det(A)≠0det(A)\ne 0
  3. A tem duas linhas
  4. A é triangular
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Resposta: det(A)≠0det(A)\ne 0

Uma matriz quadrada é inversível exatamente quando seu determinante não é zero.

Questão 2

Médio

Qual é a inversa de A=[[2,1],[1,1]]A=[[2{,}1],[1{,}1]]?

  1. [[1,−1],[−1,2]]
  2. [[2,−1],[−1,1]]
  3. [[1,1],[1,2]]
  4. A não possui inversa
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Resposta: [[1,−1],[−1,2]]

det(A)=2⋅1−1⋅1=1det(A)=2\cdot 1-1\cdot 1=1. Pela fórmula, A−1A^{-1}=[[1,−1],[−1,2]].

Questão 3

Difícil

Se A é inversível e AX=BAX=B, qual expressão isola X corretamente?

  1. X=BA−1X=BA^{-1}
  2. X=A−1BX=A^{-1}B
  3. X=AB−1X=AB^{-1}
  4. X=B−1AX=B^{-1}A
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Resposta: X=A−1BX=A^{-1}B

Multiplicamos a igualdade à esquerda por A−1A^{-1}: A−1A^{-1}AX=A−1BAX=A^{-1}B, logo X=A−1BX=A^{-1}B.

Sistemas lineares

Questão 1

Fácil

Resolva x+y=7x+y=7 e x−y=1x-y=1.

  1. (3,4)
  2. (4,3)
  3. (7,1)
  4. (8,6)
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Resposta: (4,3)

Somando as equações: 2x=8,x=42x=8, x=4 e y=3y=3.

Questão 2

Difícil

Um sistema escalonado termina com a equação 0=50=5. Ele é:

  1. Possível determinado
  2. Possível indeterminado
  3. Impossível
  4. Homogêneo
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Resposta: Impossível

A igualdade 0=50=5 é uma contradição, então não há solução.

Questão 3

Fácil

Um sistema linear reduz-se a x+2y=5x+2y=5 e 0=00=0. Como ele é classificado?

  1. SPD
  2. SPI
  3. SI
  4. Não linear
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Resposta: SPI

Há duas incógnitas e apenas uma equação independente; uma variável pode ser livre, gerando infinitas soluções.

Questão 4

Médio

Resolva 2x+3y=122x+3y=12 e x−y=1x-y=1.

  1. (2,3)
  2. (3,2)
  3. (4,1)
  4. (5,−1)
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Resposta: (3,2)

Da segunda equação, x=y+1x=y+1. Substituindo: 2(y+1)+3y=122(y+1)+3y=12, então 5y=10,y=25y=10, y=2 e x=3x=3.

Escalonamento e posto

Questão 1

Fácil

Qual operação elementar é proibida no escalonamento?

  1. Trocar duas linhas
  2. Somar a uma linha um múltiplo de outra
  3. Multiplicar uma linha por zero
  4. Multiplicar uma linha por um número não nulo
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Resposta: Multiplicar uma linha por zero

Multiplicar por zero apaga informação e não é uma operação reversível; o multiplicador precisa ser não nulo.

Questão 2

Difícil

Uma matriz aumentada de um sistema com 4 incógnitas tem 3 pivôs, nenhuma contradição e posto(A)=(A)=posto([A∣b])posto([A|b]). Quantas variáveis livres existem?

  1. 0
  2. 1
  3. 3
  4. 4
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Resposta: 1

O número de variáveis livres é o número de incógnitas menos o número de pivôs: 4−3=14-3=1.

Regra de Cramer

Questão 1

Médio

Em um sistema quadrado, D=−6D=-6 e Dₓ=18. Qual é o valor de x pela Regra de Cramer?

  1. −3
  2. −13\frac{1}{3}
  3. 3
  4. 108
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Resposta: −3

Pela Regra de Cramer, x=DxD=18−6=−3x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{18}{-6}=-3.

Questão 2

Difícil

Para qual valor de k a matriz [[k,2],[3,6]] deixa de ser inversível?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 6
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Resposta: 1

det=6k−6det=6k-6. A matriz deixa de ser inversível quando 6k−6=06k-6=0, isto é, k=1k=1.

Modelagem matricial

Questão 1

Médio

Uma fábrica usa a matriz de consumo A=[[2,1],[3,4]]A=[[2{,}1],[3{,}4]] e produz q=[[5],[2]]q=[[5],[2]]. Qual vetor Aq representa o consumo total?

  1. [[7],[11]]
  2. [[12],[23]]
  3. [[13],[22]]
  4. [[15],[8]]
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Resposta: [[12],[23]]

Aq=[[2⋅5+1⋅2],[3⋅5+4⋅2]]=[[12],[23]]Aq=[[2\cdot 5+1\cdot 2],[3\cdot 5+4\cdot 2]]=[[12],[23]].

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Matrizes e Sistemas. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.