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Exercícios resolvidos de Matrizes e Sistemas

Organize dados em matrizes, opere, calcule determinantes e inversas, escalone e resolva sistemas lineares. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Modelar duas restrições simultâneas e verificar ambas após resolver o sistema.

Antes de começar: Equações do primeiro grau e substituição.

Uma situação para resolver

Um grupo comprou 8 ingressos: inteiras a R$ 20 e meias a R$ 10. O total foi R$ 120. Quantos ingressos de cada tipo foram comprados?

Se x é o número de inteiras e y o de meias, então $x+y=8$ e $20x+10y=120$ .
Divida a segunda equação por 10: $2x+y=12$ . Subtraindo a primeira, resulta $x=4$ .
Na contagem total, $y=8-4=4$ . Confira o preço: $4\cdot 20+4\cdot 10=120$ .

Conclusão: 4 inteiras e 4 meias.

Matriz inversa

Questão 1

Médio

Qual condição garante que uma matriz quadrada A possui inversa?

$det(A)=0$
$det(A)\ne 0$
A tem duas linhas
A é triangular

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: $det(A)\ne 0$

Uma matriz quadrada é inversível exatamente quando seu determinante não é zero.

Questão 2

Médio

Qual é a inversa de $A=[[2{,}1],[1{,}1]]$ ?

[[1,−1],[−1,2]]
[[2,−1],[−1,1]]
[[1,1],[1,2]]
A não possui inversa

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: [[1,−1],[−1,2]]

$det(A)=2\cdot 1-1\cdot 1=1$ . Pela fórmula, $A^{-1}$ =[[1,−1],[−1,2]].

Questão 3

Difícil

Se A é inversível e $AX=B$ , qual expressão isola X corretamente?

$X=BA^{-1}$
$X=A^{-1}B$
$X=AB^{-1}$
$X=B^{-1}A$

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: $X=A^{-1}B$

Multiplicamos a igualdade à esquerda por $A^{-1}$ : $A^{-1}$ $AX=A^{-1}B$ , logo $X=A^{-1}B$ .

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Matrizes e Sistemas. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.